高中数学 第二章 数列 第七课时 等比数列教案（一） 苏教版必修5VIP专享VIP免费

第七课时等比数列(一)教学目标：掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导；培养学生的发现意识，提高学生创新意识，提高学生的逻辑推理能力，增强学生的应用意识.教学重点：等比数列的定义及通项公式.教学难点：灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题.教学过程：Ⅰ.复习回顾前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容.Ⅱ.讲授新课下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?1，2，4，8，16，…，263；①5，25，125，625，…；②1，－，，－，…；③仔细观察数列，寻其共同特点.对于数列①，an＝2n－1；＝2(n≥2)对于数列②，an＝5n；＝5(n≥2)对于数列③，an＝(－1)n+1·；＝－(n≥2)共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点.1.定义等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q≠0)，即：an∶an－1＝q(q≠0)如：数列①，②，③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，－.与等差数列比较，仅一字之差.总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”.注意（1）公差“d”可为0，（2）公比“q”不可为0.等比数列的通项公式又如何呢?2.等比数列的通项公式请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一下等比数列的通项公式.解法一：由定义式可得：a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…，an＝an－1q＝a1qn－1(a1，q≠0)，n＝1时，等式也成立，即对一切n∈N*成立.解法二：由定义式得：(n－1)个等式若将上述n－1个等式相乘，便可得：×××…×＝qn－11即：an＝a1·qn－1(n≥2)当n＝1时，左＝a1，右＝a1，所以等式成立，∴等比数列通项公式为：an＝a1·qn－1(a1，q≠0)如：数列①，an＝1×2n－1＝2n－1(n≤64)数列②：an＝5×5n－1＝5n，数列③：an＝1×(－)n－1＝(－1)n－1与等差数列比较，两者均可用归纳法求得通项公式.或者，等差数列是将由定义式得到的n－1个式子相“加”，便可求得通项公式；而等比数列则需将由定义式得到的n－1个式子相“乘”，方可求得通项公式.下面看一些例子：［例1］培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？分析：下一代的种子数总是上一代种子数的120倍，逐代的种子数可组成一等比数列，然后可用等比数列的有关知识解决题目所要求的问题.解：由题意可得：逐代的种子数可组成一以a1＝120，q＝120的等比数列{an}.由等比数列通项公式可得：an＝a1·qn－1＝120×120n－1＝120n∴a5＝1205≈2.5×1010.答：到第5代大约可以得到种子2.5×1010粒.评述：遇到实际问题，首先应仔细分析题意，以准确恰当建立数学模型.［例2］一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式.解：设这个等比数列的首项是a1，公比是q则：②÷①得：q＝③③代入①得：a1＝∴an＝a1·qn－1＝×（）n－1，a2＝a1·q＝×＝8.答：这个数列的第1项与第2项分别是和8.评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.Ⅲ.课堂练习课本P48练习1，2，3已知{an}是无穷等比数列，公比为q.(1)将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设{an}为：a1，a2，…，ak，ak+1，…则去掉前k项的数可列为：ak+1，ak+2，…，an，…可知，此数列是等比数列，它的首项为ak+1，公比为q.(2)取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设{an}为：a1，a2，a3，…，a2k－1，a2k，…，取出{an}中的所有奇数项，分别为：a1，a3，a5，a7，…，a2k－1，a2k+1，…2 ＝＝q2...