高中数学 第三章 推理与证明 3.3.1 综合法与分析法-综合法教案 北师大选修1-2-人教版高二选修1-2数学教案VIP免费

3.3.1综合法与分析法-综合法学习目标1．理解综合法的思维过程及其特点；2．掌握运用综合法证明数学问题的一般步骤，能运用综合法证明简单的数学问题。学法指导在充分理解综合法的特点的基础上，体会综合法证题的思维过程和步骤；并通过例题的学习和练习逐步学会运用综合法进行简单的数学证明。事实上，我们对综合法应该很熟悉，以前进行的几何、不等式、三角恒等式的证明，大多运用的都是综合法，数学的解答题的解答过程也是运用综合法进行表述的。重点:理解综合法的思维过程和特点；难点：运用综合法证（解）题时，找出有效的推理“路线”；教学过程：学生探究过程：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。若要证明下列问题：已知a,b>0,求证2222()()4abcbcaabc教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义证明:因为222,0bcbca,所以22()2abcabc,因为222,0caacb,所以22()2bcaabc.因此,2222()()4abcbcaabc.P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论1.综合法1综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是：11223().....nPQQQQQQQ综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,,abc,且A,B,C成等差数列,,,abc成等比数列,求证△ABC为等边三角形.分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C;A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=；a,b，c成等比数列，转化为符号语言就是2bac．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．例2、已知,,Rba求证.abbababa本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：2作差（或作商）、变形、判断符号。讨论：若题设中去掉1x这一限制条件，要求证的结论如何变换？典例分析例1设1,0,0baba，求证：8111abba分析：左边乘以“ba1”，然后运用均值不等式。变式练习1已知4,0,0baba，求证：111ba证明：左边=1442144≥++=+++baabbbaaba例2已知二次函数cbxaxxf2)(（cba,,均为实数），满足0)1(f，对于任意的实数x都有0)(xxf，并且2,0x时，总有221)(xxf。（1）求)1(f的值；（2）证明：0,0ca；（3）当1,1x时函数mxxfxg)()(（其中m为实数），是单调的，求证：0m或1m。分析：注意到221)(xxfx对2,0x恒成立，用1x即可求得)1(f，这是用不等式求值的一般思路。运用条件：“对于任意的实数x都有0)(xxf”可证（2），（3）的证明思路就是利用二次函数的单调区间。变式练习23已知：21121)(xxxf，求证：（1）)(xf为偶函数；（2）0)(xf例3.已知a，b，c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.解题导引综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．这里可从基本不等式相加的角度先证得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca成立，再进一步得出结论．变式迁移1设a，b，c>0，证明：＋＋≥a＋b＋c.基础训练1．(12分)已知a、b、c>0，求证：a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．2.求证：是函数)42sin()(xxf的一个周期。3.（韦达定理）已...