3.1.1分数指数幂学习目标核心素养1.理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点)2.掌握有理指数幂的运算法则．(重点)3.了解实数指数幂的意义.通过学习本节内容提升学生的数学运算核心素养.1．平方根与立方根的概念如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个．2．a的n次方根(1)定义：一般地，如果一个实数x满足xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次实数方根，式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)几个规定：①当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根只有一个，记作x＝；②当n为偶数时，正数的n次实数方根有2个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号表示，负的n次实数方根用符号－表示，它们可以合并写成±(a>0)形式；③0的n次实数方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数)．3．根式的性质(1)＝0(n∈N*，且n>1)；(2)()n＝a(n∈N*，且n>1)；(3)()＝a(n为大于1的奇数)；(4)()＝|a|＝(n为大于1的偶数)．4．分数指数幂的意义一般地，我们规定：(1)a＝(a>0，m，n均为正整数)；(2)a＝(a>0，m，n均为正整数)；(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．5．有理数指数幂的运算性质(1)asat＝as＋t；(2)(as)t＝ast；(3)(ab)t＝atbt，(其中s，t∈Q，a>0，b>0)．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)16的四次方根为2.()(2)＝π－4.()(3)＝－2.()[答案](1)×(2)×(3)×1[提示](1)16的四次方根有两个，是±2；(2)＝|π－4|＝4－π；(3)没意义．2．若n是偶数，＝x－1，则x的取值范围为________．[1，＋∞)[x－1≥0，∴x≥1.]3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是________．(填序号)(1)＝5；(2)2－＝；(3)＝(－2)；(4)3＝.(1)(2)[根据根式与分数指数幂的互化关系，(1)(2)正确，(3)(4)错误．]4．设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝________.8[52x－y＝＝＝＝8.]根式的性质【例1】求下列各式的值．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)－，x∈(－3,3)．思路点拨：利用根式的性质进行求解．[解](1)＝－2.(2)＝＝.(3)＝|3－π|＝π－3.(4)＝＝|a3|＝(5)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，当－30，m，n∈N*，且n>1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．2．分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用．2．将下列根式化成分数指数幂的形式．分数指数幂的运算【例3】(1)计算：0.064－＋[(－2)3]＋16－0.75＋|－0.01|；思路点拨：将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算．3指数幂与根式运算的技巧1有理数指数幂的运算技巧①运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算.②指数的处理：负指数先化为正指数.底数互为倒数③底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示.2根式运算技巧①各根式尤其是根指数不同时要先化成分数指数幂，再运算.②多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂.3．(1)化简：＝____.4条件求值问题[探究问题]1．x＋x－与x＋...
