2．2.1双曲线的定义与标准方程[读教材·填要点]1．双曲线的定义平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为大于0的定值(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2[小问题·大思维]1．双曲线的定义中，为什么要规定定值小于|F1F2|？若定值等于|F1F2|或等于0或大于|F1F2|，点的轨迹又是怎样的曲线？提示：(1)如果定义中定值改为等于|F1F2|，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．(2)如果定义中定值为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．(3)如果定义中定值改为大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在．2．在双曲线的定义中，如果将“差的绝对值”改为“差”，那么点的轨迹还是双曲线吗？提示：不是．是双曲线的一支．3．若方程－＝1表示双曲线，m，n应满足什么条件？提示：若方程－＝1表示双曲线，则m·n>0.双曲线定义的应用在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足sinB－sinA＝sinC，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指明表示什么曲线．[自主解答]如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)．由正弦定理得sinA＝，sinB＝，sinC＝. sinB－sinA＝sinC，∴b－a＝.从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支． a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x＞)．故C点的轨迹为双曲线的右支且除去点(，0)．解答此类问题要注意定义中的两个关键性条件：(1)差的绝对值是定值，(2)常数大于0小于两定点间的距离．同时具备这两个条件才是双曲线．1．已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32.试求△F1PF2的面积．解：因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝0，所以∠F1PF2＝90°，所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上；(2)过点P，Q且焦点在坐标轴上．[自主解答](1) 焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)． 双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1.∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是－y2＝1.(2)设双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)， 双曲线过P，Q，∴解得∴所求双曲线方程为－＝1.1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a＝4，经过点A；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．解：(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)， 双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1.双曲线的定义及标准方程的应用设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为()A．6B．12C．12D．24[自主解答]如图所示， |PF1|－|PF2|＝2a＝2，且|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.又 |F1F2|＝2c＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6×4＝12.[答案]B在...
