一元二次方程的根的分布问题一、定理：设：f(x)=ax2+bx+c（a＞0），△=b2－4ac定理1方程f(x)=0的两实根都大于（或小于）给定的实数m的充要条件是定理2方程f(x)=0的两实根在区间（m，n）的充要条件是定理3方程f(x)=0的两实根分别在区间（p，q）与（q，r）内的充要条件是定理4方程f(x)=0的两实根分别在区间（p，q）与（r，s）（r≥q）的充要条件是定理5方程f(x)=0的两实根中一根小于m，另一根大于n（m＜n）的充要条件是定理6方程f(x)=0的两实根x1、x2满足x1＜m＜x2的充要条件是用心爱心专心1xyom－－xyomxyoxyoxyo－mnpqrpqrsxyomnmx1x2小结：⑴若两实根分布在同一开区间（m，n），则必须考虑三点：①判别式△≥0；②对称轴在所给区间内，即m＜＜n；③在区间端点处函数值的符号，即f(m)＞0且f(n)＞0.⑵若两实根分布在两个不同的开区间内，则只要考虑在区间端点处函数值的符号.二、例题：例1、若方程（k2+1）x2－2（k+1）x+1=0的两根在区间（0，1）内，求k的取值范围.例2、求实数m，使方程7x2－（m+13）x+m2－m－2=0有两实根，且它们分别在区间（0，1）与（1，2）中.例3、方程x2+（a2－1）x+a－2=0有一根大于1，另一根小于－1，求a的取值范围.例4、若方程x2－11x+m=0的两根都大于5，求m的取值范围.例5、若方程x2lga－2x+1=0的一根大于1，另一根小于1，求实数a的取值范围.例6、若a＞b＞0，证明方程，有两相异实根，且一根在（b，a）之间，另一根比b小.用心爱心专心2练习题1、已知方程x2－2x+lg（2a2－a）=0有一正根和一负根，求实数a的取值范围.2、求使方程x2－2mx+m+1=0有两实根，且一根大于5，一根小于5的实数m的取值范围.3、方程x2+2（k+3）x+2k+4=0有两个相异实根，⑴若一根大于3，另一根小于1，求k的取值范围；⑵若两根都在区间（－2，2）内，求k的取值范围；⑶若方程有且只有一个实根在（1，2）内，另一根不在其内，求k的取值范围.4、设a是任意实数，二次方程3x2－1=a（2x－1）有两个不等的实根，证明两根中至少有一个在区间（0，1）之间.用心爱心专心3
