2.1.3两直线的平行与垂直学习目标核心素养1．理解两条直线平行与垂直的判断条件．(重点)2．能根据斜率判定两条直线平行与垂直，体会用代数方法研究几何问题的思想．(重点、难点)通过学习本节内容来提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.1．两条直线平行(1)若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2(k1，k2均存在)．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)思考：两平行直线的斜率是否一定相等．提示：只要斜率存在，则斜率一定相等．2．两条直线垂直(1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l1⊥l2⇔k1k2＝－1(k1，k2均存在)．(2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直．①②思考：两直线垂直，则两直线斜率乘积是否一定为－1?提示：两直线斜率存在的前提下，斜率乘积为－1.1.思考辨析(1)若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2.()(2)若直线l1∥l2(两条直线的斜率存在，分别为k1，k2)，则k1＝k2.()(3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．()[答案](1)×(2)√(3)√2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝________．3[kAB＝＝3，kl＝kAB＝3.]3．与直线x＋2y＋7＝0垂直的一条直线的斜率k＝______．2[直线x＋2y＋7＝0的斜率k＝－，故与其垂直的一条直线的斜率k＝2.]4．过点(0，1)且与直线2x－y＝0垂直的直线的一般式方程是________．x＋2y－2＝0[直线2x－y＝0的斜率是k＝2，故所求直线的方程是y＝－x＋1，即x＋2y－2＝0.]1两直线平行的判定【例1】判断下列各题中直线l1与l2是否平行．(1)l1的斜率为1，l2经过点P(1，1)，Q(3，3)；(2)l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点C(5，－2)，D(5，5)；(3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点C(－1，3)，D(2，0)；(4)l1：x－3y＋2＝0，l2：4x－12y＋1＝0.思路探究：依据斜率公式，求出斜率，利用l1∥l2或l1，l2重合⇔k1＝k2或k1，k2不存在判断．[解](1)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2，∴l1与l2重合或l1∥l2.(2)l1与l2都与x轴垂直，通过数形结合知l1∥l2.(3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，k1＝k2，数形结合知l1∥l2.(4)l1的方程可变形为y＝x＋；l2的方程可变形为y＝x＋. k＝，b1＝，k2＝，b2＝， k1＝k2且b1≠b2，∴l1∥l2.判断两条直线平行的方法1．根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系．(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3，2)，N(－2，－3)．[解](1)由题意知k1＝＝－，k2＝＝－.因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.(2)由题意知k1＝tan60°＝，k2＝＝.因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．两直线垂直的判定【例2】判断下列各题中直线l1与l2是否垂直．(1)直线l1：2x－4y＋7＝0，直线l2：2x＋y－5＝0；(2)直线l1：y－2＝0，直线l2：x－ay＋1＝0；(3)直线l1经过点，，l2经过点，.思路探究：利用两直线垂直的斜率关系判定．[解](1)k1＝，k2＝－2，2 k1·k2＝×(－2)＝－1，∴l1与l2垂直．(2)当a＝0时，直线l2方程为x＝－1，即l2斜率不存在，又直线l1的斜率为0，故两直线垂直．当a≠0时，直线l2的斜率为，又直线l1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．(3)k1＝＝－，k2＝＝. k1·k2≠－1，∴两条直线不垂直．1.判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，两直线也垂直．2.直接使用A1A2＋B1B2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．2．判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)；(3)l1经过点A(3，4)，B(3，100)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40)．[解](1)直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝1，故l1与l2不垂直．(2)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1⊥l...
