§7正切函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质学习目标核心素养1.能借助单位圆中的正切线画出函数y＝tanx的图像．2．掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．(重点)3．注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用．(难点)1.通过借助单位圆中的正切线画出函数y＝tanx的图像，体会数学直观素养．2．通过学习正切函数的性质解决正切函数与正、余弦函数的综合问题，提升数学运算素养．1．正切函数的定义(1)正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)．(2)正切线如图所示，线段AT为角α的正切线．思考1：设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么何时有意义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？[提示]当a≠0时，有意义．tanα＝.2．正切函数的图像与性质图像性质定义域值域R奇偶性奇函数周期性周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π单调性在，k∈Z上是增加的对称性该图像的对称中心为，k∈Z思考2：能否说正切函数在整个定义域内是增函数？[提示]不能．正切函数y＝tanx在每段区间(k∈Z)上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数．1．若角α的终边上有一点P(2x－1，3)，且tanα＝，则x的值为()A．7B．8C．15D．B[由正切函数的定义知tanα＝＝，解得x＝8.]2．函数y＝tanx的对称中心坐标为()A．(kπ，0)(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(2kπ，0)(k∈Z)C[y＝tanx的图像与x轴的交点以及x轴上使y＝tanx无意义的点都是对称中心．]3．函数y＝tan2x的定义域为________．[由正切函数的定义知，若使y＝tan2x有意义，则2x≠kπ＋(k∈Z).解得x≠＋(k∈Z).]4．函数y＝tanx，x∈的值域是________．[0，1][函数y＝tanx在上是增加的，所以ymax＝tan＝1，ymin＝tan0＝0.]正切函数的概念【例1】已知角α的终边经过点P(－4a，3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值．[解]r＝＝5|a|，若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－.tanα＝＝＝－；若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tanα＝.2．已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．1．角α的终边经过点P(－b，4)且cosα＝－，求tanα的值．[解]由题意知cosα＝＝－，∴b＝±3.又cosα＝－<0，∴P在第二象限，∴b＝3.∴tanα＝－.正切函数的图像【例2】作出函数y＝tan|x|的图像，判断函数的奇偶性及周期性．[思路探究]去掉绝对值号，先作出x≥0时的图像，再利用图像变换作出x<0时的图像．[解] y＝tan|x|＝∴当x≥0时，函数y＝tan|x|在y轴右侧的图像即为y＝tanx在y轴右侧的图像．当x<0时，y＝tan|x|在y轴左侧的图像为y＝tanx在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，如图所示：由图像知，函数y＝tan|x|是偶函数，但不是周期函数．1．作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是，(0，0)，，两线是直线x＝±为渐近线．2．如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出y＝f(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y＝|f(x)|的图像．2．(1)函数y＝sinx与y＝tanx在区间上的交点个数是()A．3B．4C．5D．6(2)函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间内的图像是图中的________．(填序号)①②③④(1)A(2)④[(1)如图，函数y＝sinx与y＝tanx在区间上的交点个数是3.(2)函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|＝]正切函数的性质[探究问题]1．如何判断函数的奇偶性．[提示]判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的...
