高中数学 2.5.2《逆变换与逆矩阵》教案 湘教版选修4-2VIP免费

§2.5.2逆变换与逆矩阵教学目标:一、知识与技能：通过具体图形变换，理解逆变换和逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在；会证明逆矩阵的唯一性和（AB）1＝B1A1等简单性质，并了解其在变换中的意义；了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。二、方法与过程回顾可逆变换的特殊性及逆变换概念，按照变换复合的观点引入逆变换，寻求可逆变换存在的条件及复合斩求逆方法三、情感、态度与价值观培养学生积极主动探索的思维品质和数学的质疑精神，发展提出问题、分析问题、解决问题的能力和获取数学知识的能力。教学重点:定理1定理2及应用教学难点：矩阵可逆条件的探索教学过程一、复习引入：1、设A，B是平面上的两个变换，将平面上每个点P先用变换A变到`P，再用变换B将`P变到``P，则从P到``P也是平面上的一个变换，称为A，B的复合变换，也称为B与A的乘积，记作BA。2、A＝1111dcba和B＝2222dcbaBA＝2222dcba1111dcba＝1212121212121221ddbccdacdbbacbaa3、矩阵S＝kk00称为纯量矩阵。S＝0000称为零矩阵，S＝1001，称为单位方阵4、交换律，消去律对矩阵乘法不成立。5、满足结合律6、设A＝dcba，记＝bcad。则（1）A可逆的充分必要条件是：0（2）当0时，A1＝acbd二、例题解析例1、A＝db01。求A可逆的条件，并当A可逆时求出它的逆。用心爱心专心1解法一：行列式＝d，A可逆d0。由定理1求得A1＝ddb101解法二：A＝db01＝d001101b。变换A分解发为伸缩变换和切变变换的乘积。这两个矩阵求逆都很容易，将它们分别求逆再乘起来，就可求出A1A1＝d1001101b＝db101与解法一的结果不一样，假如A，B可逆，是否AB可逆？是否有（AB）1＝A1B1？用乘法检验：（AB）（A1B1）＝ABA1B1是否等于单位矩阵E？注意A与A1之间相隔B，如果A，B的位置不能交换，A与A1就不能相互抵消，同样的道理B与B1之间相隔A1，也不能抵消，试将A1B1的顺序换一下，ABB1A1＝AA1＝E，可见有定理2：如果A，B都可逆，则AB可逆，且（AB）1＝B1A1按照定理2，对上例中的矩阵A，有A1＝101bd1001＝ddb101解法三、变换A分解为工A＝A2A1，先将点P进行伸缩变换A1变到`P，再`P进行切变变换A2变到``P。要将``P变回到P，则要先作逆切变变换（A2）1变到`P，再作逆伸缩变换（A1）1变到P所以有（A2A1）1＝（A1）1（A2）1例2、设A是可逆矩阵，B，C是任意矩阵，能否由AB＝AC推出B＝C解：由AB＝ACA1AB＝A1ACB＝C例3、在军事密码学中，密码发送的流程为：发送方将要传送的信息数字化后用一个矩阵X表示，在矩阵的左边乘上一个双方约定好的可逆矩阵A，得到B＝AX，则B即为传送出去的密码。接收方收到密码后，只需左乘A的逆矩阵A1，即可得到发送出的明码X＝A1B，不妨以二阶矩阵为例，先将英文字母数字化，让a=1，b=2，c=3，…，z=26。现已知发送方传出的密码为7,13,39,67，组成矩阵为6713397，双方约定的可逆矩阵为4532，试破解发送的密码。解：设A＝4532，B＝6713397则A1＝122325AX＝BX＝A1B＝1223256713397＝11132即发送方所发密码对应的明码为2,1，3,11，再对照英文字母表知对方所发信息为“back”三、课堂练习用心爱心专心21、已知矩阵A＝2121，B＝1111求矩阵AB和BA的逆矩阵，2、利用逆矩阵求适合下列式子的末知矩阵X（1）3253X＝1854（2）X2132＝1434四、小结如果A，B都可逆，则AB可逆，且（AB）1＝B1A1五、课后作业：课本45页习题5教学反思：用心爱心专心3