静电场之均匀带电圆柱面圆柱体和圆柱壳的电场VIP专享VIP免费

{范例9.7}均匀带电圆柱面、圆柱体和圆柱壳的电场(1)一无限长均匀带电圆柱面，半径为R，单位长度的带电量(电荷的线密度)为λ，求电荷产生的电场强度和电势，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？如果电荷均匀分布在同样大小的圆柱体内，求解同样的问题。(2)一均匀带电圆柱壳，内部是空腔，圆柱壳内外半径分别为R0和R，电荷的线密度仍为λ，求空间各点的电场强度和电势。对于不同厚度的圆柱壳，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？[解析](1)如图所示，由于电荷分布具有轴对称性，所激发的电场也是轴对称的。设λ>0，不论场点在圆柱内还是在圆柱外，由于对称的缘故，场点的场强都沿着轴心到场点的连线。rRErE{范例9.7}均匀带电圆柱面、圆柱体和圆柱壳的电场对于圆柱外的点P1，以轴线为中线，过P1点做一个高为L、半径r的圆柱面S1作为高斯面。在P1点取一个面积元dS，其法线方向与场强方向一致。通过该面积元的电通量为dΦE=E·dS，通过高斯面的电通量为ddESSESÑÑESdSESÑ=E2πrL高斯面所包围的电量为Q=λL，根据高斯定理ΦE=Q/ε0场强大小为022πkErr(r>R)当λ>0时，场强的方向垂直轴线向外；当λ<0时，场强的方向垂直轴线向内。可见：均匀带电圆柱面或圆柱体外各点的场强与电荷全部集中在轴线处的线电荷所激发的场强相同。RS1rEP1LO{范例9.7}均匀带电圆柱面、圆柱体和圆柱壳的电场在圆柱的外表面，场强大小为对于圆柱面内的点P2，以轴线为中线，过P2点做一个高为L、半径r的圆柱面S2作为高斯面。在P2取一个面积元dS，假设圆柱面内的场强不为零，同样可求得电通量ΦE=Q/ε0。对于均匀带电圆柱面，高斯面内Q=0，根据高斯定理得E=0(rR)即：均匀带电圆柱面内的场强为零。RS1rEP1LO02kERS2P2E圆柱内外表面的场强不连续。{范例9.7}均匀带电圆柱面、圆柱体和圆柱壳的电场如图所示，在圆柱外取一点P0作为参考的电势零点，P0到轴线的距离为r0。取一条从P1开始到P0为止的电场线作为积分路径，P1的电势为E=0(rR)均匀带电圆柱面外各点的电势与电荷全部集中在轴线处的点电荷所产生的电势相同。如果λ>0，当r>r0时U<0；当r0。如果λ<0，则结果相反。圆柱表面的电势为可以证明：圆柱面内任何一点的电势都与表面的电势相同，圆柱内空腔是一个等势体。0002dddrrrrrrkUErrrEs02lnrkr002lnrUkRrREP1P0r0{范例9.7}均匀带电圆柱面、圆柱体和圆柱壳的电场对于均匀带电圆柱体，柱体外的电场强度和电势与电荷全部集中在轴线处的线电荷所产生的电势相同。由于电荷的体密度处处相等，柱体内的场强不为零，电势也不是常量。高为L的圆柱体内的电量为Q=λL，圆柱体的体积为VR=πR2L，电荷的体密度为ρ=Q/VR，高斯面内的体积为Vr=πr2L，高斯面内的电量为q=ρVr=QVr/VR=Qr2/R2，根据高斯定理得方程ΦE=E2πrL=q/ε0，圆柱体内场强为220022π2πqQrkrErLLRR(rR)可见：均匀带电圆柱体不是等势体，轴线处的电势最高。当r→R时，可得rREP2P0r022krER000222dddddrrrRRrrRrRkrkUErErrrRrEs2202()2lnrkURrkRR(r