分层限时跟踪练(四十六)(限时40分钟)[基础练]扣教材练双基一、选择题1．(2015·福建高考)若双曲线E：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()A．11B．9C．5D．3【解析】由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.【答案】B2．(2015·湖南高考)若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53【解析】由双曲线的渐近线过点(3，－4)知ba＝43，∴b2a2＝169.又b2＝c2－a2，∴c2－a2a2＝169，即e2－1＝169，∴e2＝259，∴e＝53.【答案】D3．(2015·天津高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为()A.x29－y213＝1B.x213－y29＝1C.x23－y2＝1D．x2－y23＝1【解析】由双曲线的渐近线y＝±bax与圆(x－2)2＋y2＝3相切可知±ba×21＋ba2＝3，c＝2，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝3.故所求双曲线的方程为x2－y23＝1.【答案】D4．已知双曲线x2m－y2n＝1的离心率为3，有一个焦点与抛物线y＝112x2的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为()A．22x±y＝0B．x±22y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0【解析】由抛物线方程知其焦点为(0,3)，因为双曲线有一个焦点与抛物线焦点相同，所以双曲线焦点在y轴上，所以n＜0，m＜0，渐近线方程为y＝±nmx.又e＝3，∴1＋－m－n＝9，∴nm＝18，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x22.【答案】B5．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.5B．2C.3D.2【解析】不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为()2a，3a. M点在双曲线上，∴4a2a2－3a2b2＝1，a＝b，∴c＝2a，e＝ca＝2.故选D.【答案】D二、填空题6．(2015·北京高考)已知(2,0)是双曲线x2－y2b2＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.【解析】由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c＝2.根据双曲线的标准方程，可知a2＝1.又c2＝a2＋b2，所以b2＝3.又b>0，所以b＝3.【答案】37．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±12x，则该双曲线的标准方程为______________________________________________．【解析】 双曲线的渐近线方程为y＝±12x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)． 双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x24－y2＝1.【答案】x24－y2＝18．(2015·湖南高考)设F是双曲线C：x2a2－y2b2＝1的一个焦点．若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为__________．【解析】不妨设F(－c,0)，PF的中点为(0，b)．由中点坐标公式可知P(c,2b)．又点P在双曲线上，则c2a2－4b2b2＝1，故c2a2＝5，即e＝ca＝5.【答案】5三、解答题9．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．【解】设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，∴|MC1|－|MC2|＝22，又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∴22＜|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．又a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴点M的轨迹方程是x22－y214＝1(x≥2)．10．(2015·潍坊模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点．(1)求双曲线的方程；(2)若△F1AB的面积等于62，求直线l的方程．【解】(1)依题意，b＝3，ca＝2?a＝1，c＝2，∴双曲线的方程为x2－y23＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2,0)．易验证当直线l斜率不存在时不满足题意，故可设直线l：y＝k(x－2)，由y＝kx－2，x2－y23＝1，消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，k≠±3时，x1＋x2＝4k2k2－3，x1x2＝4k2＋3k2－3，y1－y2＝k(x1－x2)，△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·16k4－4k2－34k2＋3|k2－3|＝12|k|·k2＋1|k2－3|＝62.得k4＋8k2－9＝0...
