巧用“模式识别”解决数学题VIP专享VIP免费

巧用“模式识别”解决数学题——探究一道2012年青岛市中考题的解答山东省胶州市第八中学266300刘乃志广西钦州市北部湾职业技术学校535000高晓兵电话：15954258866，E-mail:lnz1008@163.com摘要：在学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构或重要类型——模式，将其有意识的记忆下来，并作有目的的简单编码．当遇到一个新问题时，我们辨认它属于哪一种基本模式，联想起一个已经解决的问题，以此为索引，在记忆贮存中提取出相应的方法来加以解决，这就是模式识别的解题策略．“模式识别”是解决数学问题的一种有效策略，并且不同的问题与不同的模式相联系，同一个问题也可能与不同的模式相联系。关键词：模式识别；解题策略；类比；最短路线１.问题(2012年青岛)如图1，圆柱形玻璃杯高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．分析:这是2012年青岛市中考数学试题的填空题的压轴题．按照通常＂化体为面＂的思路，从A到C的最短距离，应该是把圆柱的侧面展开，连结AB所得的线段的长度，这个长度通常可以利用勾股定理求得．但这里存在一个问题，A与B两点，一个在杯的内侧，一个在杯的外侧，蚂蚁必须先爬到杯的边沿上，才能从杯的外侧进入内侧，在边沿上的这一点如何确定，才能使所爬路程最短呢？２．模式识别，联想两个熟悉的问题笔者当时觉得此题挺有挑战性，后来细想，其实这个问题的解决思路在书本上有两个题目都已有所体现．２.１联想问题１北师大版数学八年级上册第29页“问题解决”第12题：如图4，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是多少？图15201510CABAB20105前右ACBACBＰGＦＥ】AA/′ＢＮＭＨＣ图2图3分析简解：本题是一道关于长方体的表面最短路线长的问题，考查的重点在于学生对长方体展开图的理解，以及勾股定理的运用，很有典型性.由于＂两点之间，线段最短＂，而而现在的两点在长方体上，所以我们需要先把长方体的相关面展成平面图形，即＂化体为面＂．蚂蚁沿表面从出发到，最短路线“必经过”且“只经过”某两个面，这样的展开图共有6种情况，排除蚂蚁无法经过的下底面的两种情况以及长度结果相同的情况，只需考虑三种情况．经过计算后比较，展开前面和后面（如图5）的路线最短，利用勾股定理易求得由此我们可以得到解决一些几何体上的最短路线问题的基本解题思路是：先“化体为面”，再依据“两点之间，线段最短”进行求解.在“化体为面”时，通常需先进行分类，然后针对不同的展开情况，分别求解，最后进行比较与选择.于是，针对开头的问题，估计会有这么一个想法：如果蜂蜜在玻璃杯的外侧就好了，这样我们就可以根据“化体为面”的思路把圆柱体玻璃杯的侧面展开（如图6），利用勾股定理易求可是现在题目中的蜂蜜是在玻璃杯的内侧表面上。我们不妨这样想：如果在杯子的外表面和内表面各贴上一张和侧面大小完全一样的纸，不考虑杯子的厚度，这两张纸的大小都应为的长方形。蚂蚁从杯子的外侧爬到内侧也就是从一张纸上爬到另一张纸上，我们把杯子的外表面和内表面同时展开（如图），也达到了“化体为面”的目的。由根据“两点之间，线段最短”，利用勾股定理易求点评：“蚂蚁爬行问题”可以总结为一个基本的数学模式，解决此类问题的基本思路是“化体为面”。但是对于开头的问题与我们联想的这个基本模式还是有差别的，最大不同在于两个点一个在外侧，一个在内侧。如何“遇新思陈，推陈出新”，从而把开头的问题和这个熟悉的数学模式联系在一起就成为关键。通过进一步的分析我们发现：把杯子的外侧表面和内侧表面展开成一个平面，就达到了“化体为面”的效果，从而使问题顺利的得到解决。2.2联想问题2北师大版数学七年级下册第228页“问题解决”第2题：如图7所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能A，B使到它的距离之和最短？分析简解：在街道上可以有许多地点建奶站，现在的问题是...