第26卷第4期重庆交通大学学报(自然科学版)2007年8月JOURNALOFCHONGQINGJIA07FONGUNIVERSITY(NATURALSCIENCE)V01．26No．4Aug．，200"7泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用严振祥，沈家骅(上海海事大学基础部，上海200135)摘要：利用泰勒公式讨论了函数的凹凸性，并获得一个判别拐点的较为简单的方法．关键词：泰勒公式；函数；凹凸；拐点中图分类号：0174文献标识码：A文章编号：1001—716X(2007)04一0160一02ApplicationoftheTaylorFormulatoJudgingtheConcavity，ConvexityandFlecnodeofaFunctionYANZhen—xiang，SHENJia—hua(BasicScienceDepartment，ShanghaiMaritimeUniversity，Shanghai200135，China)Abst糟ct：TheconcavityaxldconvexityofafunctionwereconfirmedbyusingtheTaylorfommla，andalleasierapproachforjudgingtheflecnodeoffunctionwasgot．Keywords：taylorformula；function；concavityandconvexity：necnode泰勒公式是高等数学的一个重要内容，在各个领域有着广泛的应用．不少书中利用它来判断函数的单调性、极值．尝试利用它来研究函数的凹凸性及拐点．引理：若，(x)在[n，b]中任意一个足够小的区间一上为凹向的，则，(*)在[n，b]上也是凹向的．证明：取[n，b]中任意二点墨0，则以x)在[a，b]上的图形是凹的．证明：设c0，即“X，)+“蜀)一矾岛)>0，得，(％)<[“X。)+，(X2)]／2由x，、是的任意性，可得，(x)在足够小的区间[c，d]上是凹向的．再由c、d的任意性，可得，(Ⅳ)在[。，6]内任意一个足够小的区间内部都是凹向的．由引理便证得“x)在区间[o，6]上是凹向的．[证毕]对于函数凸性的判定定理完全可以用类似凹性的方法得到相应的引理和证明，此略．同时，我们利用泰勒公式对函数极值的判定，可以相似地推出函数拐点的判定，比用凰点两边区间的二阶导数符号来判定，显得简单易行，且有更广泛的结论．定理2若“x)在某个U(凰，6)内11,阶可导，且满足，’(蜀)=f”(凰)一一／””(凰)=0，且，”(xo)≠0，(n>2)若1)n为奇数，则(％以凰))为拐点；2)n为偶数，则(％以％)不是拐点．证明：写出f”(...
