统计学 二项分布VIP免费

第8章几种离散型变量的分布及其应用DistributionandApplicationofDiscreteDataBinomialdistributionPoissindistribution随机变量有连续型和离散型之分，相应的概率分布就可分为连续型分布和离散型分布。有关连续型分布如正态分布、t分布和F分布等在前面的章节中已作了介绍。本章主要介绍在医学中较为常用的离散型分布，即二项分布、Poisson分布。第一节二项分布二项分布（binomialdistribution）是指在只会产生两种可能结果如“阳性”或“阴性”之一的n次独立重复试验（常常称为n重Bernoulli试验）中，当每次试验的“阳性”概率保持不变时，出现“阳性”的次数X=0，1，2，…，n的一种概率分布。在医学中类似如这种n重Bernoulli试验的情形较为常见。如用某种药物治疗某种疾病，其疗效分为有效或无效；在动物的致死性试验中，动物的死亡或生存；接触某种病毒性疾病的传播媒介后，感染或非感染等。若从阳性率（死亡率、感染率等）为π的总体中随机抽取大小为n的样本，则出现阳性数为X的概率分布即呈二项分布，记为X～B(n，π).二项分布有两个参数：总体率样本含量记作：X～B(n，π)n在n个独立的个体中出现X个阳性的概率可由下式求出：!()(1)0,1,2,,!()!XnXnPXXnXnX)(XP实际上就是二项函数n)1(展开式中的通项，式中的)!(!!XnXn称为二项系数。总有：nxXP01)(。一、二项分布的适用条件和性质(一)二项分布的适用条件1.每次试验只会发生两种对立的可能结果之一，即分别发生两种结果的概率之和恒等于1；2.每次试验产生某种结果（如“阳性”）的概率π固定不变；3.重复试验是相互独立的，即任何一次试验结果的出现不会影响其它试验结果出现的概率。(二)二项分布的性质1.二项分布的均数与标准差在n次独立重复试验中，出现“阳性”次数X的总体均数为总体方差为总体标准差为n)1(2n)1(n若以率表示，则样本率p的总体均数为总体方差为总体标准差为pnp)1(2np)1(样本率的标准差也称为率的标准误，可用来描述样本率的抽样误差，率的标准误越小，则率的抽样误差就越小。在一般情形下，总体率π往往并不知道。此时若用样本资料计算样本率p=X/n作为π的估计值，则的估计为:pnppSp/)1(2.二项分布的图形对于二项分布而言，当π=0.5时，分布是对称的，见图；图6-1.=0.5时，不同n值下的二项分布当0.5时，分布是偏态的，但随着n的增大，分布趋于对称。当n时，只要π不太靠近0或1，二项分布则接近正态分布。二、二项分布的应用(一)总体率的区间估计1.查表法2.正态近似法1.查表法对于n50的小样本资料，直接查附表6百分率的95%或99%可信区间表，即可得到其总体率的可信区间。例6-2在对13名输卵管结扎的育龄妇女经壶腹部-壶腹部吻合术后，观察其受孕情况，发现有6人受孕，据此资料估计该吻合术妇女受孕率的95%可信区间。本例n=13，X=6。查附表6，取0.05时，在n=13（横行）与X=6（纵列）的交叉处数值为19～75，即该吻合术妇女受孕率的95%可信区间为（19%，75%）。附表6只列出的部分。当时，可先按“阴性”数n-X查得总体阴性率的可信区间QL～QU，再用下面的公式转换成所需的阳性率的可信区间。PL=1-QU，PU=1-QL2nX2nX112.正态近似法根据数理统计学的中心极限定理可得，当n较大、π不接近0也不接近1时，二项分布B(n，π)近似正态分布，而相应的样本率p的分布也近似正态分布。为此，当n较大、p和1-p均不太小，如np和n(1-p)均大于5时，可利用样本率p的分布近似正态分布来估计总体率的可信区间。(,(1))Nnn2(,)pN的可信区间为：如：的95%可信区间为的99%可信区间为22(,)pppuSpuS1(2.58,2.58)pppSpS(1.96,1.96)pppSpS例：在观测一种药物对某种非传染性疾病的治疗效果时，用该药治疗了此种非传染性疾病患者100人，发现55人有效，试据此估计该药物治疗有效率的95%可信区间。本例n=100，p=55/100=0.55Sp0.55-1.96×0.0497=0.45260.55+1.96×0.0497=0.6474即该药物治疗有效率...