利用空间向量解决立体几何问题1.如图，正方形的边长为2，，分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于，.（1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.2.四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点.（1）证明：四边形是矩形；（2）求直线与平面夹角的正弦值.13.如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.（I）证明：；（II）设直线与平面的距离为，求二面角的平面角的余弦值4.在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.（1）求证：；（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.25.如图，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.6.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.（1）当时，证明：直线平面；（2）是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.37.如图,四棱柱的所有棱长都相等,,四边形和四边形为矩形.(1)证明:底面;(2)若,求二面角的余弦值.8.如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.（1）求证：（2）若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.[来源:Z#xx#k.Com]49.如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.10.如图，三棱柱中，侧面为菱形，.（Ⅰ）证明：;（Ⅱ）若，,,求二面角的余弦值.511.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.12.如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.613.如图，四棱柱中，底面.四边形为梯形，,且.过三点的平面记为，与的交点为.（1）证明：为的中点；（2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；（3）若，，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小.14.三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图如图所示.设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MNNP.（1）证明：P为线段BC的中点；（2）求二面角ANPM的余弦值.715．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．16.如图，在四棱锥中，平面平面.（1）证明：平面;8zyxPEDCBA（2）求二面角的大小EDCBA17.如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求二面角的正弦值.18．在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，，，为的中点，为的中点（1）证明：；（2）求异面直线与所成角的大小；（3）求点到平面的距离．919．在四棱锥中，侧面，，底面为直角梯形，其中，，为中点．（1）求证：；（2）求异面直线与所成角余弦值；（3）求点到平面的距离．20．平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是中点，（1）设是中点，证明：；（2）证明：在内存在一点，使得，并求出到的距离10
