对数函数及其性质VIP免费

北京青年报曾报道：潮白河底挖出冰冻古树可能是山杨，专家经过检测可推断树的埋藏时间．你知道专家是根据什么推断树的埋藏时间的吗？人们经过长期实践，获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系：.215730tP由指数与对数的关系，此指数式写成对数式是：.log573021Pt（*）（P=76．7％）碳14的含量P0.50.30.10.010.001生物死亡年数t如果碳14的含量是下表中的数值，根据关系：试用计算器填写下表．Pt573021log根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系，都有一个确定的年代t与它对应，所以，t是P的函数．Pt573021log5730573099539953190351903538069380695710457104学生活动学生活动11：：用描点法画出下面函数的图象,并观察图象,找出图象的特征,总结函数的性质.xy2logxy21logx0.5-110214262.585083123.5850164xy2logxyOxy2logx0.51102-14-26-2.58508-312-3.585016-4xy21logxyOxy21logO(1,0)xyy=log2xy=log0.5xxx221loglog因为所以和的图象关于x轴对称.xy2logxy21log学生活动学生活动22：：选取底数a(a＞0且a≠１)的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些共同特征吗？图象性图象性质质aa＞＞1010＜＜aa＜＜11定义域定义域:(:(0,0,+∞+∞))值域值域::RR过点过点(1,0),(1,0),即当即当xx＝＝11时时,y,y＝＝00在在(0,(0,+∞+∞))上上是增函数是增函数在在((0,0,+∞+∞))上上是减函数是减函数yyxx00yyxx00(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)例1求下列函数的定义域：；2logxya(1)(2)).4(logxya(1)因为,即,所以函数的定义域是02x0x2logxya}0|{xx(2)因为,即,所以函数的定义域是04x4x}4|{xx)4(logxya解：例2比较下列各组数中两个值的大小：;5.8log,4.3log22(1)(2);7.2log,8.1log3.03.0(3)).1,0(9.5log,1.5logaaaa解：(1)因为函数在(0,+∞)上是增函数,且3.4＜8.5,所以xy2log5.8log4.3log22(2)因为函数在(0,+∞)上是减函数,且1.8＜2.7,所以xy3.0log7.2log8.1log3.03.0(3)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.因此需要对底数a进行讨论:当a＞1时,函数在(0,+∞)上是增函数,且5.1＜5.9，所以当0＜a＜1时,函数在(0,+∞)上是减函数,且5.1＜5.9，所以xyalogxyalog9.5log1.5logaa9.5log1.5logaa练习练习::比较下列各题中两个值的大小比较下列各题中两个值的大小::⑴⑴loglog101066loglog101088⑵⑵loglog0.50.566loglog0.50.544⑶⑶loglog0.10.10.50.5loglog0.10.10.60.6⑷⑷loglog1.51.51.61.6loglog1.51.51.41.4＜＜＜＜＞＞＞＞巩固练习：（教材P73练习3）例3溶液酸碱度的测量．溶液酸碱度是通过pＨ值刻画的，pＨ值的计算公式为pＨ＝－lg［］，其中［］表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔／升．(1)根据对数函数性质及上述ＰＨ的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；(2)已知纯净水中氢离子的浓度为［］＝摩尔／升，计算纯净水中的pＨ．HHH710解：(1)根据对数的运算性质，有.][1lg]lg[]lg[1HHHpH在(0,+∞)上，随着［］的增大，减小，相应地，也减小，即pＨ减小．所以，随着［］的增大，pＨ减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越小．H][1H][1lgHH所以纯净水的pＨ是７．(２)当［］＝时，pＨ＝H710.710lg7以a为底的对数函数，自变量x和函数值y分别是以a为底的指数函数的函数值和自变量，我们称有这种特殊关系的两个函数互为反函数．学生活动：学生活动：对比同以a(a＞0且a≠１)为底数的对数函数和指数函数，看看自变量与函数值之间有什么关系？xyOy=logaxy=axa>1x=yxyOy=logaxy=ax0