第3讲等比数列及其前n项和[考纲解读]1.理解等比数列的概念及等比数列与指数函数的关系．2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．(重点)3.熟练掌握等比数列的基本运算和相关性质．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的重点．预测2020年高考将会以等比数列的通项公式及其性质、等比数列的前n项和为考查重点，也可能将等比数列的通项、前n项和及性质综合考查，此外，还可能会与等差数列综合考查．题型以客观题或解答题的形式呈现，属中档题型.1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从第□2项起，每一项与它的前一项的比等于□同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的□公比，公比通常用字母□q(q≠0)表示．数学语言表达：＝q(n≥2)，q为常数，q≠0.(2)等比中项如果□a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔□G2＝ab.2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝□a1qn－1；可推广为an＝□amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.3．等比数列的相关性质设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(1)若m＋n＝p＋q，则□aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为□qm(k，m∈N*)．(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列．(4)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.(5)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列，公比为qk.当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．(6)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．(7)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.1．概念辨析(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.()(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{lgan}是等差数列．()(4)若数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.()(5)若数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于()A．5B．±5C．4D．±4答案C解析设等比数列{an}的公比为q，则q4＝＝＝4，q2＝2，所以a5＝a3q2＝2×2＝4.(2)在等比数列{an}中，已知a1＝－1，a4＝64，则公比q＝________，S4＝________.答案－451解析q3＝＝－64，q＝－4，S4＝＝＝51.(3)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和为________．答案2n－1解析因为数列{an}是等比数列，所以a1a4＝a2a3＝8.又a1＋a4＝9，所以a1，a4是方程x2－9x＋8＝0的两个根．又因为a1
