第三节　等比数列及其前n项和VIP免费

第三节等比数列及其前n项和一、等比数列的概念1．等比数列的定义如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的比等于_____________(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的_____，通常用字母q表示．2．等比中项如果a、G、b成等比数列，那么__叫做a与b的等比中项．同一个常数2公比G二、等比数列的通项公式条件通项公式a1，qan＝_______am，qan＝________a1qn－1amqn－m三、等比数列的前n项和公式1．前n项和公式：Sn＝___，q＝1，_________＝________，q≠1.2．等比数列{an}的前n项和Sn可表示为Sn＝Aqn＋B(A≠0，且A＋B＝0)的形式．na11－qn1－qa1－anq1－q四、等比数列的性质1．在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则____________.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则_________.2．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{anbn}，anbn(λ≠0)仍是等比数列．am·an＝ap·aqam·an＝a3．在公比为q的等比数列{am}中，数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列，公比为____.4．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时q≠－1)．5．等比数列的单调性．设数列{an}为等比数列．(1)q>1，a1>0或01，a1<0或00时，{an}是递减数列；(3)q＝1时，{an}是常数列；(4)q<0时，{an}是摆动数列．qk1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为不等于0的常数)的数列{an}为等比数列．()(2)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．()(3)G是a与b的等比中项⇔G2＝ab.()(4)运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论．()(5)等比数列的前n项和公式是用错位相减法求得的，这是求一类数列和的常用方法．()2．(课本习题改编)已知{an}为等比数列，a4＝4，则a2a6等于()A．4B．8C．16D．323．已知等比数列{an}中，a2＝12，a3＝14，ak＝164，则k等于()A．5B．6C．7D．84．(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．5．(2013·北京高考)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.等比数列的基本运算1．(2013·新课标Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()A.13B．－13C.19D．－192．(2014·安徽高考)数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.3．(2014·重庆高考)已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．(1)求an及Sn；(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.B1.(2015·长春调研)在正项等比数列{an}中，已知，a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝()A．11B．12C．14D．16B2.已知{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a1a7＋2a3a7＋a3a9＝________.B3.设x，y，z是实数，9x,12y,15z成等比数列，且1x，1y，1z成等差数列，则xz＋zx的值是________．等比数列的判断与证明[典例1](2015·成都模拟)已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和Sn＝pn2＋2n，n∈N*.(1)求p的值及an；(2)在等比数列{bn}中，b3＝a1，b4＝a2＋4，若等比数列{bn}的前n项和为Tn.求证：数列Tn＋16为等比数列．1．等比数列的判定方法(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则数列{an}是等比数列．2．若证明一个数列不是等比数列，则可用反证法证明存在相邻三项不成等比数列即可，一般证明a1a3≠a22.【提醒】满足an＋1＝qan(q≠0)的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要a1≠0.1．(2014·新课标Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明an＋12是等比数列，并...