高考数学一轮复习 第5章 数列 第1讲 数列的概念与简单表示法讲义 理（含解析）-人教版高三全册数学教案VIP专享VIP免费

第五章数列第1讲数列的概念与简单表示法[考纲解读]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，并知道数列是自变量为正整数的一类特殊函数．2.掌握数列求通项的几种常用方法：利用Sn与an的关系求通项；利用递推关系求通项．(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一般不单独命题．预测2020年高考可能与递推数列、等差、等比数列及前n项和综合考查，涉及题型有：①由Sn求an；②由递推关系求an；③根据an＝f(n)求最值．题型一般为客观题，也可能作为解答题中的一问，试题难度一般不大，属中档题型.1．数列的有关概念2．数列的分类3．数列{an}的an与Sn的关系(1)数列{an}的前n项和：Sn＝a1＋a2＋…＋an.特别提醒：若当n≥2时求出的an也适合n＝1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示．1．概念辨析(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．()(3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．()(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．小题热身(1)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an}的项的是()A．21B．33C．152D．153答案C解析代n值进行验证，n＝1时，A满足；n＝2时，B满足；n＝12时，D满足．故选C.(2)设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64答案A解析a8＝S8－S7＝82－72＝15.(3)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于()A.B.C.D.答案D解析a2＝1＋＝1＋1＝2，a3＝1＋＝1－＝，a4＝1＋＝1＋2＝3，a5＝1＋＝1－＝.(4)数列－，，－，，…的一个通项公式an＝________.答案(n∈N*)解析观察数列可知，分母为以项数与项数加1的乘积形式的数列，分子是常数1的数列，各项的符号正负相间，故可得数列的通项公式an＝(n∈N*)．题型知数列前几项求通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)1,0，，0，，0，，0，…；(4)，1，，，….解(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝.(3)把数列改写成，，，，，，，，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0，…周期性出现，因此数列的通项可表示为an＝或an＝.(4)将数列统一为，，，，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，所以可得它的一个通项公式为an＝.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③各项的符号特征和绝对值特征；④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系，如举例说明(4)．⑤对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．如举例说明(1)．根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)，，，，，…；(2)，，－，，－，，…；(3)，2，，8，，…；(4)5,55,555,5555，….解(1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为an＝.(2)数列可以改为－，，－，，－，，…，则分母为2n，分子为2n－3，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝.(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1)．题型由an与Sn的关系求通项公式1．已知Sn＝3n＋2n＋1，...