第2讲等差数列及其前n项和[考纲解读]1.理解等差数列的概念及等差数列与一次函数的关系．(重点)2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2020年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大，属中档题型.1．等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从□第2项起，每一项与它前一项的□差等于□同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的□公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为□an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是□A＝，其中A叫做a，b的□等差中项．2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝□a1＋(n－1)d，可推广为an＝□am＋(n－m)d.(2)等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d.3．等差数列的相关性质已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即a1＋an＝□a2＋an－1＝□a3＋an－2＝…＝□ak＋an－k＋1＝….(2)等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，□am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则□2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为□md(k，m∈N*)．(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为□n2d.(5)也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的□.4．等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．(2)等差数列前n项和公式可变形为Sn＝n2＋n.当d≠0时，它是关于n的二次函数，数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．5．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最□大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最□小值．1．概念辨析(1)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．()(2)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(2018·日照模拟)由公差为d的等差数列a1，a2，a3，…组成的新数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…是()A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．公差为3d的等差数列D．非等差数列答案B解析由题意得，新数列{an＋an＋3}是公差为2d的等差数列，理由：(an＋1＋an＋4)－(an＋an＋3)＝(an＋1－an)＋(an＋4－an＋3)＝d＋d＝2d.(2)在等差数列{an}中，已知a2＝2，前7项和S7＝56，则公差d＝()A．2B．3C．－2D．－3答案B解析由题意可得即解得(3)(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________．答案an＝6n－3(n∈N*)解析由已知，设{an}的公差为d，则a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝2a1＋5d＝36，又a1＝3，所以d＝6，所以{an}的通项公式为an＝3＋6(n－1)＝6n－3(n∈N*)．(4)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.答案180解析由等差数列的性质可得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，又因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，所以5a5＝450，a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180.题型等差数列基本量的运算1．(2018·全国卷Ⅰ)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12答案B解析设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得3×＝2×2＋d＋4×2＋·d，整理解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10，故选B.2．(2018·碑林区期末)设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为4...
