二次函数在闭区间上的最值VIP免费

二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设fxaxbxca()()20，求fx()在xmn[]，上的最大值与最小值。分析：将fx()配方，得顶点为baacba2442，、对称轴为xba2当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上fx()的最值：（1）当bamn2，时，fx()的最小值是fbaacbafx2442，()的最大值是fmfn()()、中的较大者。（2）当bamn2，时若bam2，由fx()在mn，上是增函数则fx()的最小值是fm()，最大值是fn()若nba2，由fx()在mn，上是减函数则fx()的最大值是fm()，最小值是fn()当a0时，可类比得结论。二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1.函数yxx242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。解：函数yxxx224222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为f()22，最小值为f()02。图1练习.已知232xx，求函数fxxx()21的最值。解：由已知232xx，可得032x，即函数fx()是定义在区间032，上的二次函数。将第1页（共8页）二次函数配方得fxx()12342，其对称轴方程x12，顶点坐标1234，，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间032，内，如图2所示。函数fx()的最小值为f()01，最大值为f32194。图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例2.如果函数fxx()()112定义在区间tt，1上，求fx()的最小值。解：函数fxx()()112，其对称轴方程为x1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。如图1所示，若顶点横坐标在区间tt，1左侧时，有1t，此时，当xt时，函数取得最小值fxftt()()()min112。图1如图2所示，若顶点横坐标在区间tt，1上时，有tt11，即01t。当x1时，函数取得最小值fxf()()min11。图2如图3所示，若顶点横坐标在区间tt，1右侧时，有t11，即t0。当xt1时，函数取得最小值fxftt()()min112综上讨论，第2页（共8页）图8例3.已知，当时，求的最大值．解：由已知可求对称轴为．（1）当时，．（2）当，即时，．根据对称性若即时，．若即时，．（3）当即时，．综上，观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a0时当a0时第3页（共8页）3、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例4.已知x21，且a20，求函数fxxax()23的最值。解：由已知有112xa，，于是函数fx()是定义在区间11，上的二次函数，将fx()配方得：fxxaa()...