教案51平面向量的数量积(或内积)一、课前检测1.(北京市东城区08年高三)已知Rt△ABC的斜边BC=5,则ABCACABCBCAB的值等于.答案:-25。2.(湖北省荆门市08届上期末)如图,在△ABC中,,,若,,则()A.1133abB.1124abC.1124abD.1133ab二、知识梳理1.向量的夹角:如下图,已知两个非零向量和,作,,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量与的夹角,记作〈,〉。BbODAa注意:必须把两向量平移到共起点。解读:2.数量积的定义:已知两个非零向量和,它们的夹角为θ,则数量||||cosθ叫做a与b的数量积,记作·,即·=||||cosθ.零向量与任一向量的数量积为.用心爱心专心1C注意:,,。解读:3.数量积的几何意义:①||cos〈,〉叫做在方向上的投影;||cos〈,〉叫做在方向上的投影;②·的几何意义:·等于||与在方向上的投影||cos〈,〉乘积或等于||与在方向上的投影||cos〈,〉乘积。解读:4.数量积的性质:设是单位向量,〈,〉=θ.1)·=·=||cosθ.与同向的单位向量的求法:。平行的单位向量呢?2)在方向上的投影为:;在方向上的投影︱b︱cos=||aba∈R。3)当与同向时,·=||||;当与反向时,·=-||||,特别地,·=||2,或||=.4).5)6).7)cosθ=.①为锐角,不同向;为直角;为钝角,不反向.②∥··或··ababababab||||||||abb(,惟一确定)08)|·|≤||||.解读:用心爱心专心25.数量积的运算法则(运算律)①··abba;②③(λ)·=λ(·)=·(λ)注意:1)数量积不满足结合律2)已知向量ABa�和轴l,e是l上与l同方向的单位向量,作点A在l上的射影A,作点B在l上的射影B,则AB�叫做向量AB�在轴l上或在e上的正射影.可以证明AB�的长度||||cos,||ABABaeae�.3)数量积的物理意义——力作功:一个物体在力的作用下产生位移,那么力所作的功,其中是与的夹角,从而.解读:三、典型例题分析例1已知|a|=4,|b|=5,且a与b的夹角为60°,求:(2a+3b)·(3a-2b).解:(2a+3b)(3a-2b)=-4变式训练1已知|a|=3,|b|=4,|a+b|=5,求|2a-3b|的值.解:56变式训练2若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模是(C)A.2B.4C.6D.12解析:(a+2b)·(a-3b)=|a|2-|a||b|cos60°-6|b|2=|a|2-2|a|-96=-72,∴|a|2-2|a|-24=0.∴(|a|-6)·(|a|+4)=0.∴|a|=6.小结与拓展:例2如图,在等腰直角ΔABC中,∠C=90°,|AB|=2.求(1)的值;(2)的值;(3)用心爱心专心3变式训练3在中,,则的值为()A.20B.C.D.答案:B变式训练4已知为(C)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定小结与拓展:例3已知||=,||=3,和夹角为450,求当向量+λ与λ+夹角为锐角时,λ的取值范围。答案:λ<,或λ>且λ≠1变式训练5已知|a|=10,|b|=12,且(3a)·(b)=-36,则a与b的夹角是(B)A.60°B.120°C.135°D.150°解析:由(3a)·(b)=-36得a·b=-60.∴cos〈a,b〉==-.又0°≤〈a,b〉≤180°,∴〈a,b〉=120°.变式训练6.若向量c垂直于向量a和b,d=λa+μb(λ、μ∈R,且λμ≠0),则(B)A.c∥dB.c⊥dC.c不平行于d,也不垂直于dD.以上三种情况均有可能解析:∵c⊥a,c⊥b,∴c·a=0,c·b=0.∴c·d=c·(λa+μb)=c·(λa)+c·(μb)=λc·a+μc·b=0.小结与拓展:四、归纳与总结(以学生为主,师生共同完成)1.知识:2.思想与方法:3.易错点:用心爱心专心44.教学反思(不足并查漏)用心爱心专心5