7.6对称问题一、明确复习目标1．掌握求已知曲线的轴对称曲线和中心对称曲线方程的方法.2．掌握判断曲线(或曲线间)对称的方法.二．建构知识网络1.点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y)事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。2.点关于直线的对称点即对称轴为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，方法：设点(x0,y0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x’,y’)，则3.曲线关于点（中心），直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。（1）曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0（2）曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P0(x0,y0)，在已知曲线f(x,y)=0上，由两点关于直线对称的解法，求得x0,y0，代入f(x0,y0)=0，即得对称曲线方程。4、常用的对称关系点(a,b)关于x轴的对称点(a,-b)，关于y轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b)关于直线y=x的对称点为(b,a)，关于直线y=-x的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m),关于直线y=-x+m的对称点(m-b,m-a).三、双基题目练练手1.(2004全国II)已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为()A.(x＋1)2＋y2＝1B.x2＋y2＝1C.x2＋(y＋1)2＝1D.x2＋(y－1)2＝12.方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲线曲线()A.关于x轴对称但不关于y轴对称B.关于y轴对称但不关于x轴对称C.关于原点对称D.以上都不对3.(2004全国II)函数y＝－ex的图象()A.与y＝ex的图象关于y轴对称B.与y＝ex的图象关于坐标原点对称C.与y＝e－x的图象关于y轴对称D.与y＝e－x的图象关于坐标原点对称4．曲线x2＋4y2＝4关于点M（3，5）对称的曲线方程为____________.5.光线从点A（-3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（-2，6），求射入y轴后的反射线的方程。6.直线交x、y轴于A、B两点，试在直线上求一点P，使最小，则P点的坐标是_________简答:1-3.CCD；4.（x－6）2+4（y－10）2=4；5.解：A（-3，4）关于x轴的对称点（-3，-4）在经x轴反射的光线上；A1（-3，-4）关于y轴的对称点（3，-4）在经过射入y轴的反射的光线上，∴=∴所求直线方程为，即6.(0,0)四、经典例题做一做【例1】求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b的方程.分析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：（1）若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；（2）若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；（3）a以l为轴旋转180°，一定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.2x+y－4=0，3x+4y－1=0，方法一：设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为－2，直线l的斜率为－.则=.解得k=－.代入点斜式得直线b的方程为y－（－2）=－（x－3），即2x+11y+16=0.方法二：在直线a：2x+y－4=0上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0），解：由解得a与l的交点E（3，－2），E点也在b上.3×+4×－1=0，=，解得B（，－）.由两点式得直线b的方程为=，即2x+11y+16=0.方法三：设直线b上的动点P（x，y）关于l：3x+4y－1=0的对称点Q（x0，y0），则有3×+4×－1=0，=.解得x0=，y0=.Q（x0，y0）在直线a：2x+y－4=0上，则2×+－4=0，化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程.方法四：设直线b上的动点P（x，y），直线a上的点Q（x0，4－2x0），且P、Q两点关于直线l：3x+4y－1=0对称，则有=，=.消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0（舍）.◆提炼方法：1.方法一与方法二，除了点E外，分别找出确定直线位置的另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程;2.方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数.【例2】.已知ΔABC中点A(3,-1),AB边上的中线为...
