余弦定理--解三角形的进一步讨论●教学目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。●教学重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。●教学难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能从而从本质上反映了事物之间的内在联系。●教学过程:学生探究过程：课题导入[创设情景]思考：在ABC中，已知，，，解三角形。从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。讲授新课[探索研究]例1．在ABC中，已知，讨论三角形解的情况分析：先由可进一步求出B；则从而1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。2．当A为锐角时，如果≥，那么只有一解；如果，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若，则有两解；用心爱心专心116号编辑（2）若，则只有一解；（3）若，则无解。（以上解答过程详见课本第910页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。[随堂练习1]（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0；（3））例2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。分析：由余弦定理可知（注意：）解：，即，∴。[随堂练习2]（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）例3．在ABC中，，，面积为，求的值分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理解：由得，则=3，即，用心爱心专心116号编辑从而巩固练习（1）在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角C（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，求角C（答案：（1）或；（2））补充作业（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。（3）在ABC中，，，，判断ABC的形状。（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，求这个三角形的面积。教学反思：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。用心爱心专心116号编辑
