曲线和方程教学过程师：解析几何重要内容之一是利用代数方法来研究几何中曲线的问题．即通过建立坐标系，利用平面内点和有序实数对之间一一对应关系，建立曲线的方程，并通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质．为此，在第二章“圆锥曲线”的第一节，先建立曲线和方程的关系．这里，先看上堂课后留的两个思考题．(板书)例1(1)画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l，并写出其方程．）的图象Ｃ．(选择二位学生自制的计算机软盘或投影片，请二位学生各自操作，展示在投影仪上．取较好的解答定格，如图2－1．)师：这二位同学解答很好．请大家对照直线l及方程，对照抛物线的一部分C及方程，谈谈符合某种条件的点的集合L和C分别与其方程是怎样地联系起来的？(鼓励学生观察、联想，进行数学交流．学生讨论后选其两个回答，再口述一遍．)生甲：如果M(x0，y0)是l上的任意一点，它到两个坐标轴的距离一定相等，因此x0=y0，那么它的坐标(x0，y0)是方程x－y=0的解；反过来，如果(x0，y0)是方程x－y=0的解，即x=x0，y=y0，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条平分线l上．为此把直线l与方程x－y=0密切地联系了起来．生乙：如果点M(x0，y0)是C上的点，那么(x0，y0)一定是y=2x2的解；反过来，.如果(x0，y0)是方程y=2x2的解，那么以它为坐标的点一定在C上．师：学生甲的回答清楚地说明了直线l完整地表示方程x－y=0，而方程x－y=0完整地表示了直线l．但学生乙的回答是否完满，请同学们思考，发表见解，并用最短的语言写在投影片上．(老师巡视后选一张投影展示定格．)学生乙的回答忽略了－1≤x≤2，从而点集C与方程y=2x2的解的集合G无法建立一一对应关系．师：请这位同学进一步阐明自己的见解．－1≤x≤2．为此正确的理解是：如果点M(x0，y0)是C上的点，那么(x0，y0)一定是y=2x2(－1≤x≤2)的解；反过来，如果(x0，y0)是方程y=2x2(－1≤x≤2)的解，那么以它为坐标的点一定在C上．用心爱心专心师：这样的见解才确切地反映了点集C与方程y=2x2(－1≤x≤2)的解集G是一一对应的．从而，抛物线的一部分C完整地表示了方程y=2x2(－1≤x≤2)，而方程y=2x2(－1≤x≤2)完整地表示了C．现在我们来考虑以下这个问题：点集C还是抛物线的一部分，方程却是y=2x2，不加任何制约条件．那么，此时的点集C与方程的解集是一个什么样的关系呢？(鼓励学生勇于探索，为合理推理铺垫．学生讨论后口答．)生丙：曲线C上的任一点P的坐标(x0，y0)一定是y=2x2的解；但若(x0，y0)是y=2x2的解，以它为坐标的点不一定在C上，有一部分在y=2x2(x＜－1或x＞2)的图象上．师：回答得很好．我们再来考虑一个问题：点集C是抛物线y=2x2，而方程还是y=2x2(－1≤x≤2)．它们的关系又是怎样呢？(进一步引导学生积极参与并多向思维．学生口答．)生丁：曲线C上点的坐标不一定是y=2x2(－1≤x≤2)的解；而以y=2x2(－1≤x≤2)的解为坐标的点却一定在C上．师：以上两个问题反映了点集C与方程的解集不是一一对应的两种截然不同的不完整的关系．那么怎样才能使点集C与方程的解是一一对应的呢？为了研究方便，从曲线是点按照某种条件运动所成的轨迹的意义来说，我们也把直线看成曲线．在平面直角坐标系中，点和有序实数对(x，y)联系起来，而二元方程f(x，y)=0的任一个解恰是一个有序实数对．现在我们一起归纳一下要具备的条件(学生讨论、口答)．师：同学们讨论得很好．曲线C和二元方程f(x，y)=0应具备以下两个条件：1．若P(x0，y0)∈C，则f(x0，y0)=0成立；2．若f(x0，y0)=0，则P(x0，y0)∈C．本节课的“曲线的方程”与“方程的曲线(图形)”的定义是这样(老师操作计算机或投影片定格)：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)=0的解建立了如下的关系：1．曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2．以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)．师：我们已经给曲线的方程、方程的曲线下了定义．这堂课[例1]的第(1)小题，方程x－y=0是l的方程，而l是方程x－y=0的曲线；第(2)小题，方程y=2x2(－1≤x≤2)是曲线C的...
