辽宁省东北育才学校高中部高二数学锥体的体积教学案例教学重点：锥体体积公式的推导教学难点：多面体体积的求解方法及应用教学方法：启发、探究教学工具：多媒体投影仪教学过程：教学程序教学内容师生活动设计意图新课引入1、回忆复习柱体的体积公式。2、回忆复习祖暅原理的内容。3、思考：等底面积等高的锥体的体积有何关系？由祖暅原理推得等底面积等高锥体的体积相等，设锥体的底面积为s，高为h，如何表示锥体的体积公式？教师提问，学生回答，同时电脑演示幻灯片。复习柱体体积和祖暅原理是本节课的知识和理论基础，同时巩固上节课所学。公式推导1、锥体的体积公式：应用祖暅原理将锥体体积的推导，转化为求最简单的锥体——三棱锥的体积。借助已知的三棱柱的体积公式，用割补的方法探究两者的体积关系。推得锥体体积公式为：shV31锥体2、台体的体积公式：借助锥体的体积公式和“还台为锥”的方法，推导台体的体积公式。设台体的上下底面积分别是s’,s,高是h，则V台体=教师引导学生利用祖暅原理将锥体体积的推导转化为求与其等底等高的三棱锥体积。引导学生利用割补的方法，利用锥体体积公式求解台体体积公式。教师板书解题求解过程。引出本节课获得新知的主导思想以及解决体积问题时常用的方法——割补法。用心爱心专心AB1A1C1ss/ss/hx1B1C1ABA11h(s+ss'+s')3方法深化1、求棱长为a的正四面体的体积？变式：已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱锥的体积？解：方法一：直接法直接经过顶点P向底面ABC做垂线，求出高PO的长，利用体积公式求解。方法二：变换法由于三棱锥中每一个顶点都可以看作是三棱锥的顶点，易证直线PA垂直于面PBC，转化为以AP为高，面PBC为底求三棱锥的体积方法三：割补法学生计算体积公式。教师引导学生用不同的方法求解。这是学生最容易想到的做法，但对于PO的长度求解存在难度，教师提问一学生同时板书过程。等体积法是求解三棱锥体积时常用的方法，引导学生多角度观察思考问题。回归本节课的本质思想——割补法。锥体体积公式的直接应用。引导学生一题多解，探究求解多面体体积的常用解法。用心爱心专心23212VaABCPABCPEOFABCPABCPD用“补”形的方法。两个这样全等的三棱锥恰好可以补成一个正四面体，利用已证的正四面体体积公式求解。方法三：割补法用“割”形的方法。三棱锥P-ABC可以分割为如上图所示的一个正四面体P-AEF和四棱锥P-EFBC，已证的正四面体体积公式求解正四面体P-AEF的体积，而三棱锥P-ABC为正四面体P-AEF的体积的四倍。应用举例例1、已知正方体AC1的棱长为a，E、F分别为AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．变式三棱台ABC—A′B′C′中，AB∶A′B′＝1∶2，则三棱锥A′—ABC，B—A′B′C，C—A′B′C′的体积比为___________.由于时间关系，例1和练习做为课后作业。巩固本节课所学的知识方法，注意一题多解，培养唯物辨证的思想。用心爱心专心ABCDA1B1C1D1EF3ABCPEF课堂练习练习：将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使B，D两点间距离变为a，则所得三棱锥D-ABC的体积为________.ACBD思考：你能求出A点到面BDC的距离吗？归纳小结这节课你在知识和方法上有怎样的收获？1、锥体的体积公式2、柱体的体积公式3、求多面体的体积时常用的方法（1）直接法：根据条件直接用柱体或锥体的体积公式进行求解。（2）割补法：如果一个多面体的体积直接用体积公式计算用困难，可将其分割或补成易求体积的几何体，逐块求积，然后求和或差。（3）变换法：如果一个三棱锥的体积直接用体积公式计算用困难，可转换为等积的另一三棱锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是容易求得。教师引领学生共同归纳本节课所学的知识、方法、思想。使学生对本节所学知识有一个系统的认识。作业应用举例和课堂练习。学生课后巩固所学知识。反思用心爱心专心ABCD4
