函数的最大值、最小值一、教学目标：理解函数的最值及其几何意义，会利用图像写出函数的最值，会利用函数单调性求函数的最值.教学重点：利用函数单调性求函数最值教学难点：二次函数在给定区间上的最值问题二、预习导学（一）知识梳理1．预习内容预习教材第30~32页，完成下列学习(1).最值的概念：所有函数值中最大的值——最大值，所有函数值中的最小值——最小值(2).函数最大值概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：对于任意都有__________.存在，使得_________.那么，称是函数的最大值.(3).仿照函数最大值的定义，给出函数的最小值的定义注意：最值——包括最大值和最小值，最值可能存在，也可能不存在，由自变量的取值范围决定.※例如，函数的图象如图所示，则在定义域上最大值，最小值。（填“有”或“无”）若，则最大值为；最小值为.2.画二次函数的图象的要素：_______________________________.三、问题引领，知识探究1．预习交流已知函数，的图像是连续不断的，且是增函数，则函数的最小值是_____________,最大值是___________,值域是_____________.若函数，的图像是连续不断的，且是减函数，则函数的最大值最小值情况是_____________________,值域是_______________.2.典例解析（1）利用函数图像求函数的最值1-21xyo7-453-21xyo7-45-21xyo7-453例1.画出函数的图像，并求函数在以下区间上的最值：（1）；（2）；（3）变式训练：函数是定义在区间[-1,5]上的减函数，则的值域为.（2）利用函数单调性求最值例2已知函数（1）证明函数在上是减函数；（2）求函数在上的最值.例2已知函数f(x)=32𝑥-1.(1)证明函数f(x)在ቀ12,+∞ቁ上是减函数;(2)求函数f(x)在[1,5]上的最值.(1)证明:设x1,x2是区间ቀ12,+∞ቁ上的任意两个实数,且x2>x1>12,f(x1)-f(x2)=32𝑥1-1−32𝑥2-1=6(𝑥2-𝑥1)(2𝑥1-1)(2𝑥2-1).由于x2>x1>12,所以x2-x1>0,且(2x1-1)(2x2-1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=32𝑥-1在区间ቀ12,+∞ቁ上是减函数.(2)解:由(1)知函数f(x)在[1,5]上是减函数,因此,函数f(x)=32𝑥-1在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值,即最大值为f(1)=3,最小值为f(5)=13.变式训练：函数当时的最大值为_________,最小值为_________.2(3)二次函数在给定区间上的最值例3求二次函数在上的最小值.分析：讨论二次函数图像的对称轴跟区间的关系，从而确定函数在给定区间上的单调性，进而根据单调性求出函数的最小值.变式训练求二次函数在上的最小值.四、目标检测2.函数f(x)=-x2+6x+8在[-2,1]上的最大值是()A.-8B.13C.17D.8答案:B解析:f(x)=-x2+6x+8=-(x-3)2+17,∴函数f(x)在[-2,1]上是增函数.∴f(x)的最大值为f(1)=13.33.已知函数y=𝑘𝑥(k≠0)在[2,4]上的最大值为1,则k的值为()A.2B.-4C.2或-4D.4答案:A五、分层配餐A组4.函数f(x)=2𝑥-1在[-6,0]上的最大值为,最小值为.答案:-27-2解析:易知函数f(x)在[-6,0]上是减函数,∴f(x)的最大值为f(-6)=-27,最小值为f(0)=-2.B组5.函数f(x)=x2-2ax+a+1(a>0)在[-4,4]上的最大值为.答案:9a+17解析:f(x)=(x-a)2+a-a2+1,当0
f(4).所以f(x)的最大值为f(-4)=9a+17.当a≥4时,f(x)在[-4,4]上是减函数,所以,f(x)的最大值为f(-4)=9a+17.综上,在[-4,4]上函数的最大值为9a+17.C组已知函数求函数的最大值和最小值.4
