抛物线的几何性质【新知导读】1．填空：抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M(x0，y0)与焦点F的距离｜MF｜＝．抛物线y2＝－2px(p＞0)上的点M(x0，y0)与焦点F的距离｜MF｜＝．抛物线x2＝2py(p>0)上的点M(x0，y0)与焦点F的距离｜MF｜＝．抛物线x2＝－2py(p>0)上的点M(x0，y0)与焦点F的距离|MF|＝．2．如右图，抛物线的主要性质归纳如下（填写下表）：3.抛物线y2＝2px(p＞0)的通径长为.【范例点睛】【例1】一顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截直线2x－y－4＝0所得的弦长为3，求抛物线方程．策略：本题可用待定系数法，设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，由弦长公式求出待定系数p，从而确定抛物线的方程．解：设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，将直线方程y＝2x－4代入整理得：2x2－(8＋p)x＋8＝0设方程的两个根为x1、x2，则有x1＋x2＝，x1x2＝4由弦长公式得：(3)2＝(1＋22)［(x1＋x2)2－4x1x2］即9＝()2－16整理得p2＋16p－36＝0，解得p＝2或p＝－18，此时Δ>0．故所求的抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x．评注：本题虽指出顶点、焦点位置，但抛物线的开口未定，这时可设抛物线方程为y2＝2px或x2＝2py，这样可以避免分类讨论，简化解题过程．【例2】求过点P(0，1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．策略：当直线与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个公共点，可设直线方程，与抛物线方程联立，用方程组解的情况来判断，从方程角度看，主要是用一元二次方程根的判别式Δ＝0．当直线l与x轴平行时，直线l与抛物线也只有一个公共点，此时直线l的方程为y＝1．解：(1)若直线斜率不存在，则过点P(0，1)的直线方程为x＝0，由得，直线x＝0与抛物线只有一个交点，即一个公共点．(2)若直线斜率存在，设为k，则过点P的直线方程为y＝kx＋1，由方程组消去y得：k2x2＋2(k－1)x＋1＝0用心爱心专心范围对称性顶点开口方向oxyFl当k＝0时，则得，即直线y＝1与抛物线只有一个公共点．当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k－1)2－4k2＝0∴k＝，直线方程为y＝x＋1综上所述，所求直线的直线方程为x＝0，或y＝1，或y＝x＋1．评注：此题容易遗漏斜率k不存在的情况，另外容易忽略二次项系数为零的情形．此题还可数形结合，防止漏解．【自我检测】1．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于()A．B．2C．D．152．若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P是抛物线上一动点，则｜PA｜＋｜PF｜取得最小值时点P的坐标是()A．(0，0)B．(1，1)C．(2，2)D．(，1)3．已知A、B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的重心恰是此抛物线的焦点，则直线AB方程是A．x＝pB．x＝3pC．x＝pD．x＝p4．抛物线y2＝2px(p>0)上三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，若2y22＝y12＋y32，那么这三点的焦半径(抛物线上的点到焦点的连线的线段长)的关系是A．成等差数列B．成等比数列C．既成等差又成等比数列D．不成等差也不成等比数列5．圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是A．x2＋y2－x－2y－＝0B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0C．x2＋y2－x－2y＋1＝0D．x2＋y2－x－2y＋＝06．抛物线y2＝－8x中，以(－1，1)为中点弦的方程是（）A．x－4y－3＝0B．x＋4y＋3＝0C．4x＋y－3＝0D．4x＋y＋3＝07．点P在抛物线y2＝6x上运动，点Q与点P关于点(1，1)对称，则Q点轨迹方程为___________．8．抛物线y＝x2上的点到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是___________．用心爱心专心9．过定点M(4，0)作直线l，交抛物线y2＝4x于A、B两点，F是抛物线的焦点，求△AFB面积的最小值．10．AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB|＝a(a为常数且a≥1)，求弦AB的中点M离x轴的最近距离．参考答案【新知导读】1．，，，2．3．【自我检测】1．答案：A解析：把y＝2x＋1代入y2＝12x，得４x2－８x＋1＝0，所求弦长d＝｜x1－x2｜＝．2．答案：C解析： ｜PF｜等于P点到准线的距离，A在抛物线内部，∴｜PA｜＋｜PF｜最小值是由A点向抛物线的准线x＝－作垂线(垂足为B)时垂线段AB的长度．∴｜PA｜＋｜PF｜最小时，P点的纵坐标为2，从而得P的横坐标为2．∴P点的坐标为(2，2)．3．答案：D解析：因为A、B...
