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任意角的三角函数”的教学案例一、以学生的学习为视角，可以对这节课的教学进行如下反思：（1）学生对课堂提问，回答是否积极？学生能否独立或通过合作探索出问题的结果？（2）学生处理课堂练习题情况如何？可能的原因是什么？（3）教学任务是否完成？下面我们着重分析一下提问的效果。在回答教学设计中的各项提问时，大多数学生存在一定困难，特别是“问题1：任意画一个锐角α，借助三角板，找出sinα的近似值．”和“问题5：现在，角的范围扩大了，由锐角扩展到了0°~360°内的角，又扩展到了任意角，并且在直角坐标系中，使得角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合．在这样的环境中，你认为，对于任意角α，sinα怎样定义好呢？”对于问题1，除了由于时间久而遗忘有关知识外，学生不熟悉独立地由一个锐角α，构造直角三角形并求锐角三角函数的过程是主要原因，他们更习惯于在给定的直角三角形中解决问题。对于问题5，教师强调“在坐标系下怎么样？”后，有学生开始尝试回答。这说明这个问题要求的思维概括水平较高，学生仅利用锐角三角函数的有关知识，难以形成当前研究任意角三角函数的思想方法。因此，教师必须要提供必要的脚手架。二、对任意角三角函数概念教学的启示要建立任意角三角函数概念，角的概念先扩大，角的表示（过程的）：正角、零角、负角，象限角，与角α终边相同的角，{α+k·360°}到{α+2kπ}(结构的)，学生对角的概念的图式重新组织，整理成弧度的形式才更适宜后面内容的学习。任意角三角函数与锐角三角函数的关系是“上下位”关系，即任意角三角函数的概念是抽象度更高、包摄范围更广的概念。因此，学生学习这个概念是以顺应为主的认知过程，产生与原认知结构不协调的方面是：首先，要建立锐角三角函数的一个等价的表示过程，即放在直角坐标系下，用终边上点的坐标来表示，进一步用终边与单位圆的交点的坐标表示。其次，在不同象限下，角β所对应的三角函数的表示，符号等；第三，任意角三角函数的定义域、值域。活动1：取一个锐角α0放在坐标系下，始边与χ轴的正半轴重合，终边在第一象限内。让学生观察，进而探索发现，用终边上点的坐标计算sinα0,cosα0,tgα0.体验用单位圆与终边交点的坐标表示sinα0,cosα0,tgα0.过程1，学生能内化上面的过程，用符号运算表示出任意的第一象限内的角α的三角函数，例如，单位圆与终边交点P的坐标是（x,y）,则.活动2，学生观察终边在其它象限下的角的三角函数的情形。主要是表示，以及三角函数值的符号的变化。过程2，学生能内化上面的体验。知道不同的象限角的三角函数与其终边与单位圆交点的关系，表示，以及函数值符号的变化。对象1，对上述过程进行压缩，归纳概括出定义，即利用单位圆定义任意角的三角函数，并明确确定其定义域、值域。图式1，学生能与已有的相关知识建立起联系。例如弧度的概念，锐角三角函数、函数的概念等等。此时学生能回答诸如“锐角三角函数与任意角三角函数的区别是什么？”学生建构概念意义的过程并非都沿着：活动—过程—对象—图式的顺序线性发展的，而是经常会由对象通过解压缩返回到过程，或者掌握一个过程的逆过程，由一个过程复合另一个过程形成新的“过程”，等等。例如，上述过程的逆过程包括：由三角函数值判断角所在的象限；由给出的角（特殊值）求其终边与单位圆的交点，等等。随着进一步学习，学生的任意角三角函数概念还要不断发展，例如角α与-α，2π-α，π-α，π+α等的三角函数值的关系，此时，学生计算一个角β的三角函数值的方法途径（过程）更多，这样学生就形成许多新的“过程”，因而在处理有关问题时就更灵活。因此，要使学生形成良好的任意角三角函数概念，就要重视对“过程”的教学和反思。三、数学史的启发数学史反映了人类探索数学规律的自然发展过程，这个过程对教学设计中如何预设学生的认知发展顺序，以及预测学生可能的学习困难都很有启发。以本设计为例。陈振宣先生在2008年第10期《中小学数学》（高中版）上撰文“三角函数定义的比较研究”，提出原来教材中采用的定义方式其实是欧拉于1748年提出的，现教材中定义的方式是上述方法与单位圆相...