第二章第十二节课时限时检测VIP免费

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．函数f(x)＝2x4－3x2＋1在区间[，2]上的最大值和最小值分别是()A．21，－B．1，－C．21,0D．0，－答案：A2．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是()A．增函数B．减函数C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增解析：f′(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在(0,2π)上递增．答案：A3．f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象最有可能的是图中的()解析：∵x∈(－∞，－2)∪(0，＋∞)时f′(x)<0，∴在(－∞，－2)和(0，＋∞)上f(x)是减函数，排除B、C、D.答案：A4．函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是()A．2B．1C．0D．由a确定解析：f′(x)＝3x2＋6x＋4＝3(x＋1)2＋1>0，则f(x)在R上是增函数，故不存在极值点．答案：C5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是()A．0B．1C．2D．3解析：f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即：a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，而(3x2)min＝3×12＝3.∴a≤3，故amax＝3.答案：D6．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a0，则af(b)≤bf(a)．答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为________．解析：得x>1，得00恒成立，所以f(x)＝xex不是凸函数．答案：④三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知函数f(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)．若y＝f(x)图象上的点(1，－)处的切线斜率为－4，求y＝f(x)的极大值．解：(1)∵f′(x)＝x2＋2ax－b，∴由题意可知：f′(1)＝－4且f(1)＝－，即解得∴f(x)＝x3－x2－3x，f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.由此可知，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴当x＝－1时，f(x)取极大值.11．已知函数f(x)＝xlnx.(1)求f(x)的最小值；(2)讨论关于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的个数．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝.当x∈(0，＋∞)时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：Xf′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以，f(x)在(0，＋∞)上最小值是f＝－.(2)当x∈时，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是；当x∈时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是.下面讨论f(x)－m＝0的解：当m<－时，原方程无解；当m＝－或m≥0时，原方程有唯一解；当－0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－10；x∈(，＋∞)时，f′(x)<0.故f(x)在(0,)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．(2)不妨假设x1≥x2.而a<－1，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，从而∀x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于∀x1，x2∈(0，＋∞)，f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.①令g(x)＝f(x)＋4x，则g′(x)＝＋2ax＋4.①等价于g(x)在(0，＋∞)上单调递减，即＋2ax＋4≤0在(0，＋∞)上恒成立．从而a≤＝＝－2.故a的取值范围为(－∞，－2]．