2020-2021北京中考数学相似综合题一、相似1.已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2(a>0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD丄x轴，垂足为D.(1)若/AOB=60°,ABIIx轴，AB=2，求a的值；(2)若/AOB=90°,点A的横坐标为-4,AC=4BC，求点B的坐标;(3)延长AD、BO相交于点E,求证：DE=CO.•••抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且ABIIx轴,•••A与B是对称点，O是抛物线的顶点，OA=OB,TZAOB=60°,•△AOB是等边三角形，TAB=2,AB丄0C,•AC=BC=1,ZBOC=30°,•OC=\,•A(-1,\),把A(-1,\)代入抛物线y=ax2(a>0)中得：a=\；(2)解：如图2,过B作BE丄x轴于E,过A作AG丄BE,交BE延长线于点G,交y轴于F,Lt-n/AF丨>KI50£02TCFIIBG,•••■>,,TAC=4BC,AF•--=4,•AF=4FG,TA的横坐标为-4,•B的横坐标为1,•A(-4,16a),B(1,a),TzAOB=90°,•ZAOD+ZBOE=90°,TZAOD+ZDAO=90°,•ZBOE=ZDAO,TZADO=ZOEB=90°,•△ADO-△OEB,AD_0B16s4•16a2=4,1a=±-,Ta>0,1•a=.；1•B(1,.)；(3)解：如图3,由(2)同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍,则设B(m,am2)，则A(-mn,am2n2),.•AD=am?n2,过B作BF丄x轴于F,•DEIIBF,•△BOF-△EOD,0OBF二—~—OhonDE,0BillrC>/mnDE,OB1—■On,DE=aOB_1•.■,OCIIAE,•△BCO-△BAE,CO_QB_J•.-,CO_1•-■,aafn(1n)•CO=-'=am?n,•DE=CO.【解析】【分析】(1)抛物线y=ax2关于y轴对称，根据ABIIx轴，得出A与B是对称点，可知AC=BC=1,由/AOB=60°,可证得△AOB是等边三角形，利用解直角三角形求出OC的长，就可得出点A的坐标，利用待定系数法就可求出a的值。(2)过B作BE丄x轴于E,过A作AG丄BE，交BE延长线于点G,交y轴于F,根据平行线分线段成比例证出AF=4FG,根据点A的横坐标为-4,求出点B的横坐标为1,则A(4,16a),B(1,a),再根据已知证明ZBOE=ZDAO,ZADO=ZOEB,就可证明△ADO-△OEB，得出对应边成比例，建立关于a的方程求解，再根据点B在第一象限，确定点B的坐标即可。(3)根据(2)可知A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B(m,am2)，则A(-mn,am2n2)，得出AD的长，再证明厶BOF-△EOD,△BCO-△BAE，得对应边成比例，证得CO=am2n，就可证得DE=CO。2.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得△DCM-△BQC?如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)解：丁“「--$-1-b^(：=0代入|-■.，得■-■=解得----•••抛物线对应二次函数的表达式为：：设直线CD切OP于点E.连结PE、PA，作；•：；-汽：点'.:茁：门茁「由;,匕得对称轴为直线x=1,A■':[飞；:.「A为等腰直角三角形.A■■/T门:.“.二亍A&二FA■为等腰三角形.设■'"■'-F声=-(4-gA在-小中，仝匕丸二汀’“A.'■-i.;,■■■：/-；':-_.•■,■.•-(4-m)2=[1~(-1)?土nt,A整理，得.■■,■,■扛解得，二-A•点P的坐标为'或•.(3)解：存在点M,使得-•'.A'为等腰直角三角形，A■'-由(2)可知，农」T•亡-二A苛；.；"、A小应「分两种情况.DM_CL当-■•时，DM_忑2A：：\P，解得.210QM=DQ~DM=4--二一••••■10Mi（11—丿.DM_CL当’'时，DMV?•••，厂■-:，解得飞-•.7汎-皿：-一I10一亿"7丿zj综上，点M的坐标为•或--'■【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由（1）中的解析式易求得抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D（1，4）,点C（0，3）,由题意可设点P（1，m），计算易得厶DCF为等腰直角三角形，△DEP为等腰三角形，在直角三角形PED和APQ中，用勾股定理可将PE、PA用含m的代数式表示出来，根据PA=PE可列方程求解；DMCbDCDk（3）由厶DCM-△BQC所得比例式分两种情况：•’•或•’•，根据所得比例式即可求解。3.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B坐标为（6，0）,点C坐标为（0,6）,点D是抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E,连接BD,点F是抛物线上的动点，当ZFBA=ZBDE时，求点F的坐标；（3）如图2,若点M是抛物线上的动点，过点M作MNIIx轴与抛物线...
