-1-第3讲复数与平面向量一、选择题1．若i是虚数单位，则复数2＋3i1＋i的实部与虚部之积为()A．－54B．54C．54iD．－54i解析：选B.因为2＋3i1＋i＝（2＋3i）（1－i）（1＋i）（1－i）＝52＋12i，所以其实部为52，虚部为12，实部与虚部之积为54.故选B.2．(2019·武昌区调研考试)已知向量a＝(2，1)，b＝(2，x)不平行，且满足(a＋2b)⊥(a－b)，则x＝()A．－12B．12C．1或－12D．1或12解析：选A.因为(a＋2b)⊥(a－b)，所以(a＋2b)·(a－b)＝0，所以|a|2＋a·b－2|b|2＝0，因为向量a＝(2，1)，b＝(2，x)，所以5＋4＋x－2(4＋x2)＝0，解得x＝1或x＝－12，因为向量a，b不平行，所以x≠1，所以x＝－12，故选A.3．(2019·广州市综合检测(一))a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于()A．－45B．－35C．35D．45解析：选B.设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以2－2x＝04－2y＝8，解得x＝1y＝－2，故b＝(1，－2)，|b|＝5，|a|＝25，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝2－85×25＝－35，故选B.4．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC中，D为AB的中点，点E满足EB→＝4EC→，则ED→＝()-2-A．56AB→－43AC→B．43AB→－56AC→C．56AB→＋43AC→D．43AB→＋56AC→解析：选A.因为D为AB的中点，点E满足EB→＝4EC→，所以BD→＝12BA→，EB→＝43CB→，所以ED→＝EB→＋BD→＝43CB→＋12BA→＝43(CA→＋AB→)－12AB→＝56AB→－43AC→，故选A.5．(2019·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝()A．6B．5C．2D．3解析：选A.由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝a2＋2a·b＋b2＝1＋1＋4＝6.故选A.6．已知(1＋i)·z＝3i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选A.因为(1＋i)·z＝3i，所以z＝3i1＋i＝3i（1－i）（1＋i）（1－i）＝3＋3i2，则复数z在复平面内对应的点的坐标为32，32，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝2，则a在a－b方向上的投影为()A．1B．3C．6－22D．6＋22解析：选B.由向量的数量积公式可得a·(a－b)＝|a||a－b|cos〈a，a－b〉，所以a在a－b方向上的投影|a|·cos〈a，a－b〉＝a·（a－b）|a－b|＝|a|2－a·b|a|2＋|b|2－2a·b.又a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝2×2×cos120°＝－2，所以|a|·cos〈a，a－b〉＝4－（－2）4＋4－2×（－2）＝3，故选B.8．在如图所示的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段BC上的点，则AE→·DE→的最小值为()-3-A．12B．15C．17D．16解析：选B.以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，4)，D(2，4)，设E(x，0)(0≤x≤2)，所以AE→·DE→＝(x，－4)·(x－2，－4)＝x2－2x＋16＝(x－1)2＋15，于是当x＝1，即E为BC的中点时，AE→·DE→取得最小值15，故选B.9．(一题多解)(2019·贵阳模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则AB→·(AC→＋AE→)＝()A．8B．12C．16D．20解析：选D.法一：设AB→＝a，AD→＝b，则a·b＝0，a2＝16，AC→＝AD→＋DC→＝b＋12a，AE→＝12(AC→＋AB→)＝12b＋12a＋a＝34a＋12b，所以AB→·(AC→＋AE→)＝a·b＋12a＋34a＋12b＝a·54a＋32b＝54a2＋32a·b＝54a2＝20，故选D.法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD＝t(t>0)，则B(4，0)，C(2，t)，E3，12t，所以AB→·(AC→＋AE→)＝(4，0)·（2，t）＋3，12t＝(4，0)·5，32t＝20，故选D.10．(一题多解)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()-4-A．3－1B．3＋1C．2D．2－3解析：选A.法一：设O为坐标原点，a＝OA→，b＝OB→＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为π3，所以不妨令点A在射线y＝3x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min...
