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京津鲁琼专用2020版高考数学二轮复习复数与平面向量练典型习题提数学素养含解析VIP免费

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-1-第3讲复数与平面向量一、选择题1.若i是虚数单位,则复数2+3i1+i的实部与虚部之积为()A.-54B.54C.54iD.-54i解析:选B.因为2+3i1+i=(2+3i)(1-i)(1+i)(1-i)=52+12i,所以其实部为52,虚部为12,实部与虚部之积为54.故选B.2.(2019·武昌区调研考试)已知向量a=(2,1),b=(2,x)不平行,且满足(a+2b)⊥(a-b),则x=()A.-12B.12C.1或-12D.1或12解析:选A.因为(a+2b)⊥(a-b),所以(a+2b)·(a-b)=0,所以|a|2+a·b-2|b|2=0,因为向量a=(2,1),b=(2,x),所以5+4+x-2(4+x2)=0,解得x=1或x=-12,因为向量a,b不平行,所以x≠1,所以x=-12,故选A.3.(2019·广州市综合检测(一))a,b为平面向量,已知a=(2,4),a-2b=(0,8),则a,b夹角的余弦值等于()A.-45B.-35C.35D.45解析:选B.设b=(x,y),则有a-2b=(2,4)-(2x,2y)=(2-2x,4-2y)=(0,8),所以2-2x=04-2y=8,解得x=1y=-2,故b=(1,-2),|b|=5,|a|=25,cos〈a,b〉=a·b|a||b|=2-85×25=-35,故选B.4.(2019·广东六校第一次联考)在△ABC中,D为AB的中点,点E满足EB→=4EC→,则ED→=()-2-A.56AB→-43AC→B.43AB→-56AC→C.56AB→+43AC→D.43AB→+56AC→解析:选A.因为D为AB的中点,点E满足EB→=4EC→,所以BD→=12BA→,EB→=43CB→,所以ED→=EB→+BD→=43CB→+12BA→=43(CA→+AB→)-12AB→=56AB→-43AC→,故选A.5.(2019·湖南省五市十校联考)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a·(a-2b)=0,则|a+b|=()A.6B.5C.2D.3解析:选A.由题意知,a·(a-2b)=a2-2a·b=1-2a·b=0,所以2a·b=1,所以|a+b|=a2+2a·b+b2=1+1+4=6.故选A.6.已知(1+i)·z=3i(i是虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:选A.因为(1+i)·z=3i,所以z=3i1+i=3i(1-i)(1+i)(1-i)=3+3i2,则复数z在复平面内对应的点的坐标为32,32,所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限,故选A.7.已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=2,则a在a-b方向上的投影为()A.1B.3C.6-22D.6+22解析:选B.由向量的数量积公式可得a·(a-b)=|a||a-b|cos〈a,a-b〉,所以a在a-b方向上的投影|a|·cos〈a,a-b〉=a·(a-b)|a-b|=|a|2-a·b|a|2+|b|2-2a·b.又a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉=2×2×cos120°=-2,所以|a|·cos〈a,a-b〉=4-(-2)4+4-2×(-2)=3,故选B.8.在如图所示的矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为线段BC上的点,则AE→·DE→的最小值为()-3-A.12B.15C.17D.16解析:选B.以B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,4),D(2,4),设E(x,0)(0≤x≤2),所以AE→·DE→=(x,-4)·(x-2,-4)=x2-2x+16=(x-1)2+15,于是当x=1,即E为BC的中点时,AE→·DE→取得最小值15,故选B.9.(一题多解)(2019·贵阳模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB=4,CD=2,AB∥CD,AB⊥AD,E是BC的中点,则AB→·(AC→+AE→)=()A.8B.12C.16D.20解析:选D.法一:设AB→=a,AD→=b,则a·b=0,a2=16,AC→=AD→+DC→=b+12a,AE→=12(AC→+AB→)=12b+12a+a=34a+12b,所以AB→·(AC→+AE→)=a·b+12a+34a+12b=a·54a+32b=54a2+32a·b=54a2=20,故选D.法二:以A为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示),设AD=t(t>0),则B(4,0),C(2,t),E3,12t,所以AB→·(AC→+AE→)=(4,0)·(2,t)+3,12t=(4,0)·5,32t=20,故选D.10.(一题多解)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是()-4-A.3-1B.3+1C.2D.2-3解析:选A.法一:设O为坐标原点,a=OA→,b=OB→=(x,y),e=(1,0),由b2-4e·b+3=0得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心,1为半径的圆.因为a与e的夹角为π3,所以不妨令点A在射线y=3x(x>0)上,如图,数形结合可知|a-b|min...

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