人教B版2019年高中数学选修3教学案：2组合与组合数公式及组合数的两个性质_含解析VIP免费

第一课时组合与组合数公式及组合数的两个性质[对应学生用书P11]组合的有关概念[例1]判断下列各事件是排列问题还是组合问题：(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？[思路点拨]要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．[精解详析](1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的．[一点通]要区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．1．求从2,3,4,5四个数中任取2个数作为对数式logab的底数与真数，得到的对数的个数有多少，是________问题；若把两个数相乘得到的积有几种，则是________问题．(用“排列”“组合”填空)解析：从2,3,4,5四个数中任取2个数作为对数式logab的底数与真数，交换a，b的位置后所得对数值不同，应为排列问题；取两个数相乘，如2×3与3×2的积是相等的，没有顺序，故为组合问题．答案：排列组合2．判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)因为分工方法是从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题．(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.有关组合数的计算与证明[例2](1)计算：C410－C37·A33；(2)证明：mCmn＝nCm－1n－1；(3)已知1Cm5－1Cm6＝710Cm7，求Cm8＋C5－m8.[思路点拨](1)(2)运用公式进行化简即可，(3)先求出m的值，再进行计算．[精解详析](1)原式＝C410－A37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)证明：mCmn＝m·n！m！n－m！＝n·n－1！m－1！n－m！＝n·n－1！m－1！n－m！＝nCm－1n－1.(3) 1Cm5－1Cm6＝m！5－m！5！－m！6－m！6！，710Cm7＝7×7－m！m！10×7！，∴m！5－m！5！－m！6－m5－m！6×5！＝7×m！7－m6－m5－m！10×7×6×5！，∴1－6－m6＝7－m6－m60，即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.而0≤m≤5，∴m＝2.∴Cm8＋C5－m8＝C28＋C38＝C39＝84.[一点通]1．组合数公式Cmn＝nn－1n－2⋯n－m＋1m！体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．2．组合数公式Cmn＝n！m！n－m！的主要作用：一是计算m，n较大时的组合数；二是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．另外，当m>n2时，计算Cmn可用性质Cmn＝Cn－mn转化，减少运算量．3．C410－C37·A33＝________.解析：原式＝C410－A37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.答案：04．若A3n＝12C2n，则n＝________.解析： A3n＝n(n－1)·(n－2)，C2n＝12n(n－1)，∴n(n－1)(n－2)＝6n(n－1)．又n∈N＋，且n≥3，∴n＝8.答案：85．解不等式1C3n－1C4n＜2C5n.解：n的取值范围是{n|n≥5，n∈N＋}． 1C3n－1C4n＜2C5n，∴6nn－1n－2－24nn－1n－2n－3＜240nn－1n－2n－3n－4.又 n(n－1)(n－2)＞0.∴原不等式化简得n2－11n－12＜0，解得－1＜n＜12.结合n的取值范围，得n＝5,6,7,8,9,10,11，∴原不等式的解集为{5,6,7,8,9,10,11}.简单的组合问题[例3](10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种...