高中数学二轮复习 考点突破 第一部分 专题三 第二讲 数列求和及数列综合应用 理VIP免费

第二讲数列求和及数列综合应用一、选择题1．若等比数列{an}的前n项和Sn，且S10＝18，S20＝24，则S40等于()A.B.C.D.解析：根据分析易知：∵S10＝18，S20－S10＝6，∴S30－S20＝2，S40－S30＝，∴S40＝，故选A.答案：A2．数列{an}的通项公式an＝，若{an}的前n项和为24，则n为()A．25B．576C．624D．625解析：an＝＝－(－)，前n项和Sn＝－[(1－)＋(－)…＋＋(－)]＝－1＝24，故n＝624.选C.答案：C3．(·大连模拟)设Sn为数列{an}的前n项之和，若不等式a≥＋λa对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为()A．0B.C.D．1解析：a1＝0时，不等式恒成立，当a1≠0时，λ≤＋，将an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋代入上式，并化简得：λ≤2＋，∴λ≤，∴λmax＝.答案：B4．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20等于()A．0B．－C.D.解析：∵a1＝0，an＋1＝，∴a2＝－，a3＝，a4＝0…，.从而知3为最小正周期，从而a20＝a3×6＋2＝a2＝－.答案：B5．(·广东)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2…，，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3…＋＋log2a2n－1＝()A．(n－1)2B．n2C．(n＋1)2D．n(2n－1)解析：∵a5·a2n－5＝22n＝a，an>0，∴an＝2n，∴log2a1＋log2a3…＋＋log2a2n－1＝log2(a1a3…an－1)＝log221＋3…＋＋(2n－1)＝log22n2＝n2.故选B.答案：B二、填空题6．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(n∈N*)，且a4＝54，则a1＝________.解析：由于Sn＝(n∈N*)，则a4＝S4－S3＝－＝27a1，且a4＝54，则a1＝2.答案：27．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝5a3，则＝________.解析：设等差数列的公差为d，首项为a1，则由a5＝5a3知a1＝－d，∴＝＝9.答案：98．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，则S4＝4a1＋6d≥10，即2a1＋3d≥5，S5＝5a1＋10d≤15，即a1＋2d≤3.又a4＝a1＋3d，因此求a4的最值可转化为在线性约束条件限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行域如图，可知在当a4＝a1＋3d，经过点A(1,1)时有最大值4.答案：49．(·福建)五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________．解析：1,1,2,3,5,8,13,21…，该数列被3除所得的余数构成的数列为1,1,2,0,2,2,1,0…，所得新数列中每4个数出现一个0，而又有5名同学，因而甲同学报的数为3的倍数的间隔为20，所以甲同学报的数为3的倍数的数依次是第16,36,56,76,96次，共5个数，故答案为5.答案：5三、解答题10．(·济南模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝k·2n＋m，k≠0，且a1＝3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)方法一：依题意有①解得a2＝2k，a3＝4k，∴公比为q＝＝2，＝＝2，k＝3，代入①得m＝－3，∴an＝3·2n－1.方法二：n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1·k.由a1＝3得k＝3，∴an＝3·2n－1，又a1＝2k＋m＝3，∴m＝－3.(2)bn＝＝，Tn＝，②Tn＝，③②－③得Tn＝，Tn＝＝.11．(·浙江五校联考)已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3(1－Sn＋1)…，求适合方程＋＋＋＝的n的值．解：当n＝1时，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝.当n≥2时，∵Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1，∴Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)，∴an＝an－1.∴{an}是以为首项，为公比的等比数列，故an＝·n－1＝2·n.(2)∵1－Sn＝an＝n，bn＝log3(1－Sn＋1)＝log3n＋1＝－n－1，∴＝＝－，∴…＋＋＋…＝＋＋＋＝－.解方程－＝，得n＝100.12．已知函数f(x)＝(x≠－1)，设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)，数列{bn}满足bn＝|an－|，Sn＝b1＋b2…＋＋bn(n∈N*)．(1)用数学归纳法证明：bn≤；(2)证明：Sn<.证明：(1)当x≥0时，f(x)＝1＋>1.因为a1＝1，所以an≥1(n∈N*)．下面用数学归纳法证明不等式bn≤.①当n＝1时，b1＝－1，不等式成立．②假设当n＝k时，不等式成立，即bk≤，那么bk＋1＝|ak＋1－|≤＝bk≤.所以，当n＝k＋1时，不等式也成立．根据①和②，可知不等式对任意n∈N*都成立．(2)由(1)知bn≤.所以Sn＝b1＋b2…＋＋bn≤(－1)…＋＋＋＝(－1)·<(－1)·＝.故对任意n∈N*，Sn<.