第3课时几个著名的不等式、运用不等式求最大(小)值简答题1.设a,b,c均为正数,证明:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc.证明:因为a,b,c—均为正数,由算术几何平均不等式得≥,≥,两式相乘,并整理得(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc.2.(南通市高三调研)已知a,b,c是实数,且a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥.证明:因为a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab+2bc+2ac)≥(a+b+c)2-2(a2+b2+c2),所以3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1,故a2+b2+c2≥.3.(盐城调研)已知实数m,n>0,求证:+≥.证明:因为m,n>0,利用柯西不等式,得(m+n)·≥(a+b)2,即+≥.4.(苏北四市高三第三次联考)已知a,b,c为正数,且满足acos2θ+bsin2θy,求证:2x+≥2y+3.证明:因为x>0,y>0,x-y>0,所以2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+≥3=3,所以2x+≥2y+3.6.(扬州市高三期末调研)利用柯西不等式,证明:≤(a,b是任意实数).证明:构造向量p=(a,b),q=(1,1),因为|p·q|≤|p|·|q|,所以|a+b|≤×,所以≤.7.(苏锡常镇四市高三教学情况调查)已知a1,a2,a3都是正数,求证:≤.证明:设m=(1,1,1),n=(a1,a2,a3),则|m·n|2≤|m|2·|n|2,即(a1+a2+a3)2≤()2()2∴a1+a2+a3≤,≤∴.8.已知2x+y=1,x>0,y>0,求的最小值.解:∵2x+y=1,x>0,y>0,∴=+=[()2+()2]·≥(2+1)2=9,当且仅当即x=y=时取等号.∴的最小值是9.9.如图所示,设矩形ABCD(AB>AD)的周长为24,把它关于AC折起来,AB折过去后,交DC于点P,设AB=x,求△ADP的最大面积及相应的x值.解:如题图所示,因为AB=x,所以AD=12-x.又DP=PB′,AP=AB′-PB′=AB-DP=x-DP.由勾股定理得(12-x)2+DP2=(x-DP)2,整理得DP=12-,因此△ADP的面积S=AD·DP=(12-x)·=108-∵x>0,∴6x+≥2=72.∴S=108-≤108-72.当且仅当6x=时,即当x=6时,S有最大值108-72.10.(·江苏调研)已知实数x、y、z满足x2+4y2+9z2=a(a>0),且x+y+z的最大值是7,求a的值.解:由柯西不等式:[x2+(2y)2+(3z)2]≥2,因为x2+4y2+9z2=a(a>0),所以a≥(x+y+z)2,即-≤x+y+z≤,因为x+y+z的最大值是7,所以=7,得a=36,当x=,y=,z=时,x+y+z取最大值,所以a=36.1.某商品进货价每件50元,据市场调查,当销售价格(每件x元)在50<x≤80时,每天售出的件数P=,若想每天获得的利润最多,销售价格每件应定为多少元?解:设销售价定为每件x元(50<x≤80),每天获得利润y元,则y=(x-50)·P=,令t=x-50,则0<t≤30.∴y===≤=2500.当且仅当t=10,即x=60时,ymax=2500.故想每天获得的利润最多,销售价格每件应定为60元.2.已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,求e的取值范围.解:∵4(a2+b2+c2+d2)=(12+12+12+12)·(a2+b2+c2+d2)≥(1×a+1×b+1×c+1×d)2,∴4(16-e2)≥(8-e)2,即5e2-16e≤0,解得0≤e≤.