第3课时几个著名的不等式、运用不等式求最大(小)值简答题1．设a，b，c均为正数，证明：(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)≥16abc
证明：因为a，b，c—均为正数，由算术几何平均不等式得≥，≥，两式相乘，并整理得(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)≥16abc
2．(南通市高三调研)已知a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥
证明：因为a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－(2ab＋2bc＋2ac)≥(a＋b＋c)2－2(a2＋b2＋c2)，所以3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，故a2＋b2＋c2≥
3．(盐城调研)已知实数m，n>0，求证：＋≥
证明：因为m，n>0，利用柯西不等式，得(m＋n)·≥(a＋b)2，即＋≥
4．(苏北四市高三第三次联考)已知a，b，c为正数，且满足acos2θ＋bsin2θ0，y>0，x－y>0，所以2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋≥3＝3，所以2x＋≥2y＋3
6．(扬州市高三期末调研)利用柯西不等式，证明：≤(a，b是任意实数)．证明：构造向量p＝(a，b)，q＝(1,1)，因为|p·q|≤|p|·|q|，所以|a＋b|≤×，所以≤
7．(苏锡常镇四市高三教学情况调查)已知a1，a2，a3都是正数，求证：≤
证明：设m＝(1,1,1)，n＝(a1，a2，a3)，则|m·n|2≤|m|2·|n|2，即(a1＋a2＋a3)2≤()2()2∴a1＋a2＋a3≤，≤∴
8．已知2x＋y＝1，x>0，y>0，求的最小值．解：∵2x＋y＝1，x>0，y>0，∴＝＋＝[()2＋()2]·≥(2＋1)2＝9，当且仅当即x＝y＝时取等号．∴的最小值是9
9．如图所示，设矩形ABCD(AB＞AD)的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后，交DC于点P，设AB＝x，求△ADP
