导数的背景曲线在某点处的切线、瞬时速度VIP免费

引入:一、切线问题：（1）对于简单的曲线，如圆和圆锥曲线，它们的切线是如何定义的？（2）与曲线只有一个交点的直线是否一定是曲线的切线？（3）曲线的切线与直线是否只有一个交点？二、最值问题：求函数y=x3-2x-1，x[-1∈，1]的最大值和最小值。第三章导数3.1.1曲线的切线一.曲线的切线βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图，曲线C是函数y=f(x)的图象，P(x0,y0)是曲线C上的任意一点，Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点，PQ为C的割线，.tan,,:xyyMQxMP则.就是割线的斜率表明：xyPM//x轴,QM//y轴，β为PQ的倾斜角.PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P,即Δx→0时,若割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:xxfxxfxykxx)()(limlimtan0000切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.注：（1）切线是割线的极限位置，切线的斜率是一个极限（2）若割线在P点有极限位置，则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;（3）曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（3）曲线的切线与曲线是否只有一个交点吗？例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线的斜率、切线方程.QPy=x2+1xy-111OMyx求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步：（1）求⊿y；并整理；求xy)2(；求xyx0lim)3(求曲线在某点处的切线方程：先利用切线的斜率，然后利用点斜式求切线方程.的切线的斜率。处，在点：求曲线例)11(12Pxy练习:如图,已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.)38,2(313Pxy上一点yx-2-112-2-11234OP313yx.])(33[lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx解：.42|22xy即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度为ttsttsts)()(二、瞬时速度：ttsttststvtt)()(limlim)(00平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.物体在时刻t的瞬时速度，就是物体在t到t+Δt这段时间内，当Δt→0时的平均速度的极限；例3:物体作自由落体运动,运动方程为：g=10m/s2，位移单位是m，时间单位是s，.求：221gts(1)物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；(2)物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；(3)物体在t=2(s)时的瞬时速度.解:)(212__tggtsvsss(2+t)Os(2)(1)将Δt=0.1代入上式，得:./5.2005.2__smgv(2)将Δt=0.01代入上式，得:./05.20005.2__smgv的极限为：从而平均速度当__,22,0)3(vtt./202limlim0__0smgtsvvtt即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).当时间间隔Δt逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s)时的瞬时速度v=20(m/s).练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6，求t=1时刻的瞬时速度.求瞬时速度一般可以分为三步：（1）求⊿s；并整理；求ts)2(；求tst0lim)3(（1）能从极限的角度理解曲线在点P处切线的定义；小结：能求曲线在点P处切线的斜率及方程；（2）能从极限的角度理解某时刻的瞬时速度能求某时刻的瞬时速度备用:已知曲线上一点P(1,2),用斜率的定义求过点P的切线的倾斜角和切线方程.222xy,22)1(2)1()1(,lim:20xfxfyxyKxP而解.12212422)1(24lim]22)1(2[)(24lim22)1(2limlim20220200xxxxxxxxxyxxxx.45,45,1tan等于点切线的倾斜角即过PKP故过点P的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1.练习:求曲线上一点P(1,-1)处的切线方程.31xy答案:y=3x-4.