直角拐脖的接口问题——关于正弦函数图象和性质的一个应用江苏省太仓高级中学（215400）张惠良在日常生活和生产中，我们常常见到图形管道需要作直角形转弯。管子弯头，就是今天我们要研究的问题。问题1：如何由一根管子做成一个直角形状的接口？教师首先让每个学生小组（4人一小组）拿出准备好的粗一些的硬纸管，并思考上述问题1。各小组学生经过几分钟探讨后，提出如下观点：如果用平面在两个筒上各截出一个45゜的截面，问题就可以解决。这时，不少学生已经按耐不住、跃跃欲试，拿出准备好的钢锯、剪刀一试身手。当他们顺利地将切口完成好直角形状的对接后，学生们都喜形于色。问题2：如何直接在材料上进行放样？正当学生沉浸在成功的喜悦时，教师再次提问：铁匠师傅用铁皮打造烟囱的“拐脖”，是将铁皮打造成一根管子后再锯，还是直接在铁皮上放样？学生认为应该是直接在铁皮上放样。教师又提问：如何直接在材料上进行放样？这可真难倒了在座的学生，这时教师指出：技术熟练的技工凭经验先在铁皮上画样，尔后将相对的直边弥合弯成筒状，两个这样的筒将斜面弥合便成形。但是这样做常常要对曲线进行修剪，才能使拐脖恰成直角且吻合得恰倒好处，材料的浪费经常是难免的。能不能准确地在板材上放样呢？这就取决于对曲线的性质的研究。于是，就有了下面的问题。问题3：这到底是条什么曲线呢？学生议论纷纷，有的学生就提出：何不将刚才做好的带斜面的圆筒沿一条直线剪开铺平后，再看看到底是什么曲线？这位学生的意见赢得了大家的认同，于是每个小组的4位学生又忙乎起来，教师也将铺平后的这条曲线画在黑板上，让学生仔细观察。教师引导学生思考：这条曲线是我们学过的一种曲线。在此提示下，有的学生猜想是圆弧与圆弧的连接，也有的认为是抛物线弧与抛物线弧的连接，这时，不少学生争论起来，可谁也说服不了谁，他们就请老师来裁决。可教师也不作正面回答，只是淡淡地说：“中国不是有句古话，是骡子还是马，不妨牵出来溜溜。我想你们会理解这句话的含义的。”学生随后就明白了，何不用纸片照此（圆弧、抛物线弧）仿样、制作，看接口是否吻合，然而效果很不尽如人意，因而答案也就否定了。正当大多数学生苦思旻想之际，有一位学生道出了答案：其实这就是我们刚学过的正弦曲线。大家针对曲线看了又看，感到它确实像正弦曲线。学生再通过放样又取得了成功，大家沉浸于发现的快乐之中。问题4：你能证明上述结论吗？对于“圆柱形斜口展开后的边界是正弦曲线”这一结论，结合有关图形引导学生给予证明。1建立如图所示的直角坐标系，设p(x,y)是圆柱形斜口上任意一点，过p点作PE⊥圆O’所在的平面，垂足为E，作EF⊥CD，垂足为F。则CE=x,PE=y∴∠CO’E=x/R，其中R是圆柱底面圆的半径。∴EF=Rsinx/R而∠PEF=45゜，∴PE=EF。∴y=Rsinx/R所以圆柱形斜口展开后的边界是一条正弦曲线。问题5：通过本次研究活动，你有什么感想与体会？学生1：动手做一些有意义的实验制作，比单纯做几个题目更有意思。注：教学本身就是一种活动。教一个活动最好方法是演示，学一个活动的最好方法是做。学生2：这一节课使我最难忘的是享受到了成功体验的乐趣。注：这种以教师引导学生动手实践、自主探索的教学方法，能使学生在“教、学、做合一”中尝试由探索自然奥秘带来的成功喜悦，以达到激发学生的创造因素，培养他们的创造精神为目的。学生3：我觉得一开始的截出45゜的切口，干脆将纸包在胡萝卜上，然后直接用刀到切更方便。注：应当鼓励学生有自己的想法，敢想、敢做才能有所创造。我们从科学史中不难发现，几乎所有的科学巨匠都有很鲜明的个性和带有个性色彩的智慧。学生4：这种研究活动使我学会了思考，学会了如何从实际生活中发现问题和解决问题?注：有意识地、经常地引导学生把所学的抽象知识与生活生产实际联系起来，使学生看到数学的力量，思考的价值，看到数学理论来源于实际，又转过来为实际服务的真理，这对激发学生的学习兴趣，增强他们的求知欲，有着极其重大的作用。学生5：今天我们研究的直角拐脖在实际生活中确定较多，但更多的似乎是如下形状的直角拐脖。注：数学知识源于自然，因认识、解释、利...
