专题：函数的周期性对称性1、周期函数的定义一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y二f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。显然，若T是函数的周期，则kT(kez,k丰0)也是f(x)的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。说明：1、周期函数定义域必是无界的。2、周期函数不一定都有最小正周期。推广：若f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，|b-a|是它的一个周期；f(x+—)=f(x——)，则f(x)周期为T；f(x)的周期为Tof(®x)的周期为—。2、常见周期函数的函数方程：(1)函数值之和定值型，即函数f(a+x)+f(b+x)=C(a丰b)对于定义域中任意x满足f(a+x)+f(b+x)=C(a丰b)，则有f[x+(2b—2a)]二f(x)，故函数f(x)的周期是T二2(b—a)特例：f(x+a)=—f(x)，则f6)是以T=2a为周期的周期函数；(2)两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型若f(a+x)-f(b+x)=C(a丰b,C可正可负)，则得f(x+2a)=f[(x+2a)+(2b—2a)]，所以函数f(x)的周期是T=2(b—a)1+f(x+b)1-f(x+b)(a丰b)得f(x+2a)=-1f(x+2b)，进而f(x+a)=则f6)是以T二2a为周期的周期函数;11+f(x)，则fO是以T=3a为周期的周期函数.⑶分式型’即函数f(x)满足/(x+a)二DE(a丰b)f(x+2a)•f(x+2b)二-1，由前面的结论得f(x)的周期是T二4(b-a)特例：f(x+a)二1—丄，则f(x)是以T=3a为周期的周期函数.f(x)f(x+a)二1，则fO是以T=3a为周期的周期函数.1-f(x)f(x+a)二1+f(x)，则f6)是以T二4a为周期的周期函数.1-f(x)f(“+血二册，则爪是以T二4a为周期的周期函数.f(x+a)二f(x)+1，则f(x)是以T=2a为周期的周期函数.f(x)-1f&+血二卅，则2是以"2a为周期的周期函数.(4)递推型：f(x+a)=f(x)—f(x—a)(或f(x)=f(x—a)—f(x—2a))，则f(x)的周期T=6a(联系数列)f(x)+f(x+a)+f(x+2a)f(x+3a)+f(x+4a)=f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a),则f(x)的周期T=5a；y二f(x)满足f(x+a)二g(f(x))，(a丰0),其中g-1(x)=g(x)，则y=f(x)是以2a为周期的周期函数。3、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性具有多重对称性的函数必具有周期性。即，如果一个函数有两条对称轴(或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心)，则该函数必为周期函数。相关结论如下：结论1：两线对称型：如果定义在R上的函数f(x)有两条对称轴X二a、x二b,即f(a+x)=f(a-x)，且f(b+x)=f(b-x)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T=2a-证明：■:f(a+x)=f(a-x)得f(x)=f(2a-x)f(b+x)=f(b-x)得f(x)=f(2b-x)f(2a-x)=f(2b-x)f(x)=f(2b-2a+x)・：函数y=f(x)是周期函数，且2b-2a是一个周期。【注意：上述2|a-b|不一定是最小正周期。若题目所给两条对称轴x二a、x=b之间没有其他对称轴，则2|a-b|是最小正周期。具体可借助三角函数来进行分析。下同。】结论2：两点对称型：如果函数同时关于两点(a,c)、(b,c)(a丰b)成中心对称，即f(a+x)+f(a—x)=2c和f(b+x)+f(b—x)=2c(a丰b)，那么f(x)是周期函数，其中一一个周期T=2|a-证明：由f(a+x)+f(a-x)=2cnf(x)+f(2a-x)=2cf(b+x)+f(b-x)=2cnf(x)+f(2b-x)=2c得f(2a-x)=f(2b-x)得f(x)=f(2b-2a+x)・•・函数y=f(x)是以2b-2a为周期的函数。结论3：—线一点对称型：如果函数f(x)的图像关于点(a,c)(a丰0)成中心对称，且关于直线x=b(a丰b)成轴对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T=4|a-b|证明：f(a+x)+f(a-x)=2cnf(x)+f(2a-x)=2cf(b+x)=f(b-x)nf(x)=f(2b-x)f(4(b-a)+x)=f(2b-(4a-2b-x))f(4a-2b-x)=f(2a-(2b-2a+x))=2c-f(2b-2a+x)=2c-f(2b-(2a-x))=2c-f(2a-x)=2c-(2c-f(x))=2c-2c+f(x)=f(x)推论1：如果偶函数f(x)的图像关于直线x=a(a丰0)对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T=2|a-=-f(叫)=]--2log28推论2：如果偶函数f(x)的图像关于直线(a,c)(a主0)对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T=4|a推论3：如果奇函数f(x)的图像关于直线x=a(a丰0)对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T=4|a推论4：如果奇函数f(x)关于点(a,c)(a主0)成中心对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T=2|a|【...
