图形的旋转在解题实践中的探索与思考VIP专享VIP免费

2012年第51卷第7期数学通报33图形的旋转在解题实践中的探索与思考①赵生初许正川卢秀敏。(1．首都师范大学数学科学学院100048；2．重庆市第29中学400010；3．北京市海淀实验中学100048)1问题的提出《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称“《课标》”)明确规定了图形的旋转等图形变换的内容．尽管有关旋转的现象在生活中随处可见，但如何在教学实践中合理、有效地帮助学生认识图形的旋转及其性质，如何在解题实践中合理、有效地：利用图形旋转来解题，却是需要思考和探索实践的．下面我们在如何理解图形旋转及其性质的基础上结合实例谈谈如何在解题实践中运用图形旋转．2图形的旋转及其性质2．1如何理解图形的旋转如图1，△ABC的三个顶点分别在以0为圆心的三个同心圆上，当A、B、C的三点分别以0为圆心、逆时针旋转后得△ABC．由OA—OA，AOB一A|OB，OB—OB知△A；△A0B，于是AB—AB；同理，易图1证△ABC△ABC．这样△ABC可看成是△ABC绕0点逆时针旋转后得到的．可见点、线段和三角形等图形的旋转可以看成是以旋转中心为圆心的圆或同心圆上的点、线段、三角形等图形的相对运动．特别地，如图1，线段OA绕它的一个端点、三角形△AOB等图形绕它的一个顶点旋转时上述说法依然成立；当旋转角为180。时，旋转前后的两个图形关于旋转中心呈中心对称．2．2图形旋转的性质结合如图l和上述分析知在图形F与它绕某点旋转一定的角度a后所形成的图形F之间具有如下的性质1—4：性质1任何一对对应点到旋转中心的距离相等；性质2任何一对对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等，都等于旋转角；性质3对应线段总相等；性质4对应角总相等．此外，还有如下的性质5图形F与图形F之间的对应线段或对应线段所在直线相交所成的角中必有一个等于旋转角a(结合图形容易识别，如图2，对应线段AB和AB所在直线相交所成的角图2中BDB一AOA一a)．如图2，由△A0B△AOB知OAB一OAB，于是o、A、D、A四点共圆，因此BDB一AOA．3解题实践与探索3．1性质的直接运用例1(2011年安徽省中考试题第22题)在△ABC中，ACB一90。，ABC一30。，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为0(0。<<180。)，得到△A1BlC．(1)如图3，当AB／／CB时，AB与BC交于D．证明：△A。CD是等边三角形；①全国教育科学规划中小学数学教育专项研究课题“中学数学教学与学生学习心理一致性的调查研究”(GIA117004)成果之一34数学通报2012年第51卷第7期CCBB薹AACA紧塞BCBSSSS13三CB，和△I／的面积分别为、。．求＼＼证：1：2一：；===———一(3)如图5，AC的中＼＼图6C图7于是(1)、(2)不难证明．(3)由于P是RtAA1B1C的斜边A1B的中点，因此当AABC1绕c点旋转时，P在以c为圆心、cP(一寺口)之厶长为半径的圆上运动，如图6；当E、C、P三点共线，且P在EC的延长线时，EP之长最大，如图07，此时EP的最大值=Ec+cP一÷口．由厶△CPA是等边三角形知此时△ABC绕C顺时针旋转120。．例2(2011年辽宁省丹东市中考第25题)已知：正方形ABCD．(1)如图8，点E、F分别在边AB和CD上，且AE—AF．此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么?请直接写出结论．(2)如图9，等腰直角三角形FAE绕直角顶DF图8CD图9点A顺时针旋转a，当O。