有关相似三角形复习课有关相似三角形复习课一个拓展题的处一个拓展题的处理理片断背景：在复习完相似三角形的内容后，我对本节内容进行了拓展延伸，出示了以下问题：问题：如图1，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为．说明：本题是天津市2008年中考数学试题填空题第16小题．试题以正方形为背景，通过去掉部分干扰图形，如图2，背景图实际上是直角梯形．命题人之所以这样设计，一是可以使题目短小，便于考生解答；二是使正方形与梯形有机结合起来，体现知识的前后衔接；三是通过学生在解答问题时，对图形、条件精简，考查学生分析数学和解决数学问题的能力．个人觉得：中考试题这样处理有利于改变程式化的教学，有利于创造意识及应变能力的培养；这样做，不仅能培养学生对问题认识的深刻性、广阔性，而且能培养学生的创新能力、应用意识和发散思维．下面对其多种解法进行探讨．师：本题是天津市2008年中考数学试题填空题第16小题．试题以正方形为背景，通过去掉部分干扰图形，如图2，背景图实际上是直角梯形．通过观察条件，发现点E是AB的中点，根据这一重要信息，有哪位同学有好的解法？想一想？生1：可能通过作梯形中位线来解决：要求GF的长，可以看作求RtEFG△的斜边．由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故可取GF的中点H，连接EH，只要求得EH的长，即可求得GF的长．由于已知点E为AB的中点，可知EH为梯形ABFG的中位线，利用梯形中位线定理可得EH的长．生2：可以作全等三角形来解决：由于点E为梯形ABFG的中点，故延长GE后与FB的延长线相交于点H，可知△AGE与△BHE全等．利用全等三角形的性质可知BH＝AG，GE＝HE，从而可知EF为线段GH的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知，要求的线段GF等于线段HF，从而求得线段HF即可．师：两位同学的想法非常好，哪位同学愿意把这道题的过程写下来呢？生3用方法1：解：如图3，取GF中点H，连接EH． 四边形ABCD为正方形，∴AGBF∥． AG=1，BF=2，∴AG≠BF，∴四边形ABFG为梯形． E为AB边的中点，∴线段EH为梯形ABFG的中位线．∴由梯形中位线定理可知，EH＝（AG＋BF）＝（1＋2）＝1.5． ∠GEF=90°，∴在RtEFG△中，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，EH＝GF，∴GF＝2EH＝3．2121生4用方法2：如图4，延长GE交FB的延长线相交于点H． 四边形ABCD为正方形，∴AGBF∥，∴∠A＝∠HBE．在△AGE和△BHE中∠A=HBE∠，AE=BE，∠AEG=BEG∠，∴△AGEBHE≌△，∴BH＝AG＝1，GE＝HE，∴FH＝FB＋BH＝2＋1＝3． ，∴FHGH⊥，∴FH为线段DG的垂直平分线，∴由线段垂直平分线的性质可知，GF＝FH＝3．生5：从方法1可以看出：在梯形中，取两腰的中点，可构造梯形的中位线．中位线与上、下底既有位置关系：梯形的中位线平行于两底；又有数量关系：梯形的中位线等于上、下底和的一半．从而通过添加中位线，将比较分散的梯形上、下底聚集在一个三角形（RtEFG△）中，使问题得到解决．生6：从方法2我想说两点：（1）取梯形一腰中点（E），连接梯形的顶点和这个中点（GE）并延长，与梯形的底边所在的直线（FB）相交（于点H），即可得全等三角形（△AGE和△BHE），这两个三角形关于这个中点（E）中心对称．（2）本方法的解法不唯一，延长FE与GA的延长线相交，也可求得GF＝3．学生做完后，我进行了点评，并问学生通过方法1和2，你有什么启示：师：通过观察通过观察条件，发现∠GEF=90°，根据这一重要信息，有哪位同学有好的解法？想一想？生7：可以用用勾股定理来解决：由∠GEF=90°，可知△EFG为直角三角形．只要能求得这个直角三角形的两条直角边EG、EF的长，利用勾股定理，就可求得GF的长．借助∠GEF=90°可知，△AGE与△BEF相似，利用相似三角形对应边成比例，从而可求得AE＝BE的长．在RtAEG△中可求得GE的长，在RtBE△F中可求得EF的长，在RtEFG△中可求得GF的长．师：想法非常有创意，已经把我们所内容充分运用其中了，通过生7，我们得出这样的认识：勾股定理是中学数学中几个重要的定理之一，它体现了由“形”到“数”和由“数”到“形”的数形结合思想.应用勾股定理解题的前...
