第50讲立体几何中的向量方法(1)——证明平行与垂直基础梳理1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB→为直线l的方向向量，与AB→平行的任意也是直线l的方向向量．(2)平面的法向量：可利用方程组求出，设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0，n·b＝0.非零向量2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔.v1∥v2存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2v⊥uu1∥u23．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔⇔.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔.v1⊥v2v1·v2＝0vu∥u1·u2＝0一种思想向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规范，是对向量大小和方向的量化：(1)以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标；(2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标．得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和距离等问题．三种方法主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题：(1)平行直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行(2)垂直直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直双基自测1．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是________．解析 v2＝－2v1，∴v1∥v2.答案平行2．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3,6)，给出下列四个P点，则点P在平面α内的是________．①P(2,3,3);②P(－2,0,1)；③P(－4,4,0);④P(3，－3,4)．解析 n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，∴n⊥MP→，在①中，MP→＝(1,4,1)，∴n·MP→＝0.答案①3．已知点A，B，C∈平面α，点P∉平面α，则AP→·AB→＝0，且AP→·AC→＝0是AP→·BC→＝0的________条件．解析由AP→·AB→＝0，AP→·AC→＝0，得AP→·(AB→－AC→)＝0，即AP→·CB→＝0，亦即AP→·BC→＝0，反之，若AP→·BC→＝0，则AP→·(AC→－AB→)＝0⇒AP→·AB→＝AP→·AC→，未必等于0.答案充分不必要4．已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列给出的四个结论．①a∥c，b∥c；②a∥b，a⊥c；③a∥c，a⊥b；④以上都不对．其中正确结论的序号是________．解析 c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，∴a∥c，又a·b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b.答案③5．已知AB→＝(2,2,1)，AC→＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．解设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)．则AB→·n＝0，AC→·n＝0，即2x＋2y＋z＝0，4x＋5y＋3z＝0.令z＝1，得x＝12，y＝－1，∴n＝12，－1，1，∴平面ABC的单位法向量为±n|n|＝±13，－23，23.答案±13，－23，23考向一利用空间向量证明平行问题【例1】►如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.[审题视点]直接用线面平行定理不易证明，考虑用向量方法证明．证明法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M0，1，12，N12，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN→＝12，0，12，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·DA1→＝0，且n·DB→＝0，得x＋z＝0，x＋y＝0.取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又MN→·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN→⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.法二MN→＝C...
