课时知能训练一、选择题1．对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则下列一定共线的三点是()A．A、B、CB．A、B、DC．B、C、DD．A、C、D3．已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在()A．△ABC的内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上4．(2012·揭阳模拟)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋OC＝0，则△ABC的内角A等于()A．30°B．60°C．90°D．120°5．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为()A．3B．4C．5D．6二、填空题6．若＝3e1，CD＝－5e1，且AD与CB的模相等，则四边形ABCD是__________．7．已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是________(将正确的序号填在横线上)．①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；②存在相异实数λ、μ，使λ·a＋μ·b＝0；③x·a＋y·b＝0(实数x，y满足x＋y＝0)；④若四边形ABCD是梯形，则AB与CD共线．8．如图4－1－3，在△ABC中，图4－1－3点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________．三、解答题用心爱心专心1图4－1－49．(2012·肇庆质检)如图4－1－4所示，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，求实数m的值．10．设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在一条直线上？11．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足OP＝OA＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)．求点P的轨迹，并判断点P的轨迹通过下述哪一个定点：①△ABC的外心；②△ABC的内心；③△ABC的重心；④△ABC的垂心．答案及解析1．【解析】由a＋b＝0知道a与b互为相反向量，从而a∥b，充分性成立．由a∥b知a＝λb，λ≠－1时，a＋b≠0，∴必要性不成立．【答案】A2．【解析】BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB⇒BD∥AB⇒A、B、D三点共线．【答案】B3．【解析】∵CB＝CP＋PB，又CB＝λPA＋PB，∴CP＝λPA，∴点P∈AC.【答案】B4．【解析】由OA＋OB＋OC＝0，知点O为△ABC重心，又O为△ABC外接圆的圆心，∴△ABC为等边三角形，A＝60°.【答案】B5．【解析】∵D为AB的中点，则OD＝(OA＋OB)，又OA＋OB＋2OC＝0，∴OD＝－OC，∴O为CD的中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4.【答案】B6．【解析】∵AB＝－CD，∴AB∥CD，且|AB|≠|CD|.【答案】等腰梯形7．【解析】由①得10a－b＝0，故①对．②对．对于③当x＝y＝0时，a与b不一定共线，故③不对．若AB∥CD，则AB与CD共线，若AD∥BC，则AB与CD不共线，故④不对．【答案】①②用心爱心专心28．【解析】∵O是BC的中点，∴AO＝(AB＋AC)又∵AB＝mAM，AC＝nAN，∴AO＝AM＋AN.∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.则m＋n＝2.【答案】29．【解】如题图所示，AP＝AB＋BP，∵P为BN上一点，则BP＝kBN，∴AP＝AB＋kBN＝AB＋k(AN－AB)又AN＝NC，即AN＝AC，因此AP＝(1－k)AB＋AC，所以1－k＝m，且＝，解得k＝，则m＝1－k＝.10．【解】设OA＝a，OB＝tb，OC＝(a＋b)．若A，B，C三点共线，则有AB＝λAC，∴OB－OA＝λ(OC－OA)，∴tb－a＝λ[(a＋b)－a]．化简整理得，(λ－1)a＝(λ－t)b.∵a与b不共线，由平面向量基本定理得λ＝且t＝.故当t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一直线上．11．【解】如图，记AM＝，AN＝，则AM，AN都是单位向量．∴|AM|＝|AN|，AQ＝AM＋AN，则四边形AMQN是菱形．∴AQ平分∠BAC，∵OP＝OA＋AP，由条件知OP＝OA＋λAQ，∴AP＝λAQ(λ∈[0，＋∞))，∴点P的轨迹是射线AQ，且AQ通过△ABC的内心．用心爱心专心3
