第42讲基本不等式及其应用(2)基础梳理1．利用基本不等式求最值若p，k为常数，且a，b∈R＋，则(1)a·b＝k，当且仅当a＝b时，a＋b有最小值2k.(2)a＋b＝p，当且仅当a＝b时，a·b有最大值p24.运用以上结论求最值，要注意以下三个问题：①要求各数均为；②要求和或积为；③要注意是否具备成立的条件．2．不等式的解法及证法的基本应用(1)求函数的定义域、值域和最大值、最小值问题；(2)判断函数的单调性及其相应的单调区间；(3)利用不等式讨论方程的实根个数、分布范围和解含参数的方程；(4)将不等式同数学其他分支结合起来，解决一些有实际应用价值的综合题．正数定值等号3．解不等式应用问题的几个主要步骤(1)审题，必要时画出示意图；(2)建模，建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系；注意文字语言、符号语言、图形语言的转换；(3)求解，利用不等式的有关知识解题．.解决本学案问题可归纳为以下几种解法1．对解不等式的题目，需特别注意等价转化；若含有参数，往往要对其分类探求．2．对涉及不等式知识的应用题，在合理建立了数量关系之后，判别式、均值不等式是常用解题工具．双基自测1．已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项是12，且m＝a＋1a，n＝b＋1b，则m＋n的最小值是________．解析由题意得a＋b＝1，m＋n＝a＋1a＋b＋1b＝1＋1a＋1b＝1＋1a＋1b(a＋b)＝3＋ba＋ab≥3＋2ba·ab＝3＋2＝5.当且仅当a＝b＝12时取等号．答案52．已知两个数x，y满足x＋4y＋5＝xy，则xy取最小值时，x，y的值分别为________．解析由x＋4y＋5＝xy≥4xy＋5得xy－4xy－5≥0，即(xy－5)(xy＋1)≥0.解得xy≥5，当且仅当x＝4y时取等号．此时x＝10，y＝52.答案10523．过定点P(1,2)的直线在x轴与y轴正半轴的截距分别为a，b，则ab的最小值为________．解析由题意可得1a＋2b＝1(a＞0，b＞0)则1a＋2b＝1≥22ab，解得ab≥8.当且仅当1a＝2b，即a＝2，b＝4时取等号．答案84．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则a＋b2cd的最小值是________．解析由题知a＋b＝x＋y，cd＝xy，x＞0，y＞0，则a＋b2cd＝x＋y2xy≥2xy2xy＝4，当且仅当x＝y时取等号．答案45．(2010·北京东城区联考)要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为________．解析设矩形的长和宽分别为x，y，则x2＋y2＝100.于是S＝xy≤x2＋y22＝50，当且仅当x＝y时等号成立．答案50考向一不等式在方程及函数中的应用【例1】►若关于x的方程4x＋a·2x＋a＋1＝0有实数解，求实数a的取值范围．[审题视点]换元后转化为一元二次方程在区间(0，＋∞)上有实数解的问题，也可分离参数转化为函数求值域问题．解法一令t＝2x(t＞0)，则原方程化为t2＋at＋a＋1＝0，问题转化为方程在(0，＋∞)上有实数解⇔Δ≥0方程较大根大于0⇔a2－4a＋1≥0－a＋Δ2＞0⇔a≤2－22.法二令t＝2x(t＞0)，则原方程化为t2＋at＋a＋1＝0，变形得a＝－1＋t21＋t＝－t2－1＋2t＋1＝－t－1＋2t＋1＝－t＋1＋2t＋1－2≤－(22－2)＝2－22.当且仅当t＝2－1时取等号．不等式在方程、函数中的应用，主要是利用不等式的解或者均值不等式求最值，或函数求最值．【训练1】已知函数f(x)＝－1a＋2x(x＞0)．(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的增减性，并证明你的结论；(2)解关于x的不等式f(x)＞0；(3)若f(x)＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．解(1)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2.则f(x1)－f(x2)＝－1a＋2x1＋1a－2x2＝2x2－x1x1x2.因为x1＜x2，x1，x2∈(0，＋∞)所以x2－x1＞0，从而x2－x1x1x2＞0.所以得到f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．(2)由－1a＋2x＞0(x＞0)即2a－xax＞0.当a＞0时，解得0＜x＜2a.当a＜0时，解得x＞0.当a＞0时，不等式的解集为{x|0＜x＜2a}，当a＜0时，不等式的解集为{x|x＞0}．(3) f(x)＋2x≥0(x＞0)，即2x＋2x≥1a.要满足此不等式恒成立只需2x＋2xmin大于或等于1a即可，而2x＋2x≥22x×2x＝4，当且仅当x＝1时取等号．所以4≥1a，...
