(江苏专用)2013高考数学总复习-第八篇《第51讲-立体几何中的向量方法(2)-求空间角与距离》课件-理-苏教版VIP免费

第51讲立体几何中的向量方法(2)——求空间角与距离1．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cosθ＝.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ＝.|cos〈m1，m2〉||cos〈m，n〉|(3)求二面角的大小a．如图①，AB、CD是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB→，CD→〉．b．如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝．cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉2．点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝|AB→·n||n|.双基自测1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么，这条斜线与平面所成的角是________．解析 cos〈a，b〉＝12·2＝12，又 〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝60°.答案60°2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________．解析cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝11×2＝22，即〈m，n〉＝45°，其补角为135°，∴两平面所成的二面角为45°或135°.答案45°或135°3．(2011·德州月考)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为________．解析设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝12，∴θ＝30°.答案30°4．在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为________．解析如图建立直角坐标系Dxyz，设DA＝1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E0，12，1.则AC→＝(－1,1,0)，DE→＝0，12，1，若异面直线DE与AC所成的角为θ，cosθ＝|cos〈AC→，DE→〉|＝1010.答案10105．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．解析建立如图的空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)则EF→＝(0，－1,1)，BC1→＝(2,0,2)，∴EF→·BC1→＝2，∴cos〈EF→，BC1→〉＝22×22＝12，∴EF和BC1所成角为60°.答案60°考向一求异面直线所成的角【例1】►(2011·上海卷改编)已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1＝2，求(1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值；(2)四面体AB1D1C的体积．[审题视点]建立恰当的空间直角坐标系，用向量法求解，注意角的范围．解(1)如图建立空间直角坐标系A1xyz，由已知条件：B(1,0,2)，D(0,1,2)，A(0,0,2)，B1(1,0,0)．则BD→＝(－1,1,0)，AB1→＝(1,0，－2)设异面直线BD与AB1所成角为θ，cosθ＝|cos〈BD→，AB1→〉|＝1010.(2)VAB1D1C＝VABCDA1B1C1D1－4VCB1C1D1＝23.异面直线所成角范围是(0，π2]，若异面直线a，b的方向向量为m，n，异面直线a，b所成角为θ，则cosθ＝|cos〈m，n〉|.解题过程是：(1)建系；(2)求点坐标；(3)表示向量；(4)计算．【训练1】(2011·扬州期末)已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都相等，P为A1B上的点，A1P→＝λA1B→，且PC⊥AB.(1)求λ的值；(2)求异面直线PC与AC1所成角的余弦值．解(1)设正三棱柱的棱长为2，以AC的中点O为原点，OB，OC所在直线为x轴，y轴，过点O且平行AA1的直线为z轴建立直角坐标系如图，则A(0，－1,0)，B(3，0,0)，C(0，1,0)，A1(0，－1,2)，B1(3，0,2)，C1(0,1,2)．所以AB→＝(3，1,0)，CA1→＝(0，－2,2)，A1B→＝(3，1，－2)．因为PC⊥AB，所以CP→·AB→＝0，(CA1→＋A1P→)·AB→＝0，(CA1→＋λA1B→)·AB→＝0，所以λ＝－CA1→·AB→A1B→·AB→＝12.(2)由(1)知CP→＝32，－32，1，AC1→＝(0,2,2)，所以cos〈CP→，AC1→〉＝CP→·AC1→|CP→||AC1→|＝－3＋22×22＝－28.所以异面直线PC与AC1所成角的余弦值为28.考向二利用向量求直线与平面所成的角【例2】►如图所示，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．[审题视点]转化为三角形内角求解不易，...