高三数学-第六篇-第四节课时精练-理-北师大版VIP免费

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题1．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离是()A.B.C．1D.【解析】圆心为(1,0)，直线方程为x－3y＝0，∴圆心到直线的距离d＝＝.【答案】A2．以点(2，－1)为圆心，与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9【解析】由题意知圆的半径r＝＝3，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.【答案】C3．当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则()A．这些圆的圆心都在直线y＝x上B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上C．这些圆的圆心都在直线y＝x或在直线y＝－x上D．这些圆的圆心不在同一条直线上【解析】圆的方程变为(x＋a)2＋(y＋a)2＝2a2＋1，∴圆心坐标为(－a，－a)，故圆心都在直线y＝x上．【答案】A4．(2008年山东高考)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．10B．20C．30D．40【解析】由x2＋y2－6x－8y＝0，得(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心为(3,4)，半径为5.又点(3,5)在圆内，则最长弦|AC|＝10，最短的弦|BD|＝2·＝2＝4，∴S四边形ABCD＝×10×4＝20.【答案】B5．(2009年西南师大附中模拟)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA、PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A．3B.用心爱心专心C．2D．2【解析】圆C方程为x2＋(y－1)2＝1，圆心C(0,1)，半径为1，∴|PC|2＝|PA|2＋1.又S四边形PACB＝2××|PA|×1＝|PA|，∴当|PA|最小时，面积最小，而此时|PC|最小．又|PC|最小为C到直线kx＋y＋4＝0的距离d＝，∴面积最小为2时，有22＝()2－1，解得k＝2.【答案】D二、填空题6．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．【解析】圆的方程变为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，∴其圆心为(－1,2)，且5－a＞0，即a＜5.又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4＜1.【答案】(－∞，1)7．定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合{(x，y)|＜r}⊆A，则称A为一个开集．给出下列集合：①{(x，y)|x2＋y2＝1}；②{(x，y)|x＋y＋2＞0}；③{(x，y)||x＋y|≤6}；④{(x，y)|0＜x2＋(y－)2＜1}．其中是开集的是________．(请写出所有符合条件的序号)【解析】集合{(x，y)|＜r}表示以(x0，y0)为圆心，以r为半径的圆面(不包括圆周)，由开集的定义知，集合A应该无边界，故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意．【答案】②④8．圆x2＋y2－2axsinα－2bycosα－a2cos2α＝0在x轴上截得的弦长为________．【解析】在圆的方程中令y＝0得x2－2axsinα－a2cos2α＝0，设圆与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，则x1＋x2＝2asinα，x1x2＝－a2cos2a，∴|AB|＝|x1－x2|＝＝＝2|a|.【答案】2|a|三、解答题9．已知圆C方程为(x－m)2＋(y＋m－4)2＝2.(1)求圆心C的轨迹方程．(2)当|OC|最小时，求圆C的一般方程(O为坐标原点)．【解析】(1)设C(x，y)，则，消去m得y＝4－x，∴圆心C的轨迹方程为x＋y－4＝0.用心爱心专心(2)当|OC|最小时，OC与直线x＋y－4＝0垂直，∴直线OC的方程为x－y＝0，解，得x＝y＝2.即|OC|最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m＝2.圆的方程是(x－2)2＋(y－2)2＝2.其一般方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0.10．(2009年南通模拟)已知以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．【解析】(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，由于圆心C(t，)，∴D＝－2t，E＝－，令y＝0得x＝0或x＝－D＝2t，∴A(2t,0)，令x＝0得y＝0或y＝－E＝，∴B(0，)，∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝·|2t|·||＝4(定值)．(2)∵OM＝ON，∴O在MN的垂直平分线上，而MN的垂直平分线过圆心C，∴kOC＝，∴＝，解得t＝2或t＝－2，而当t＝－2时，直线与圆C不相交，∴t＝2，∴D＝－4，E＝－2，∴圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0.用心爱心专心www.ks5u.com用心爱心专心