【考纲下载】能利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)第6讲二倍角的三角函数与三角函数的简单应用1．用cosα表示sin2，cos2，tan2sin2＝;cos2＝;tan2＝;提示：该组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用，从右到左起到一个缩角升幂的作用．3．用sinα，cosα表示tan2．用cosα表示sin，cos，tan1．已知π＜α＜2π，则cos等于解析： π＜α＜2π，∴＜π，cos＜0，又 cosα＝2cos2－1，∴cos＝答案：C2．已知sinα＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是()A．－7B．7C．D.解析：由sinα＝，α为第二象限角，得cosα＝则tanα＝∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝7.答案：B3．已知函数f(x)＝cos2则f等于()解析：f(x)＝cos2－sin2x答案：B4．若sin则cos2θ＝________.解析： sin＝cosθ＝∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－答案：化简三角函数式的难点在于众多公式的灵活运用和解题突破口的选择．认真分析所给式子的整体结构，寻找各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在，因此考生要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性．此外，考生还要掌握几种常见的化简三角函数式的入手方式：变换角度，变换函数名，变换解析式结构．【例1】化简..思维点拨：式中含有切函数和弦函数，故首先应考虑切化弦，又观察到因此化弦后可通过诱导公式把角进行统一．解：原式＝化简.解：原式＝＋＝|sin5°＋cos5°|＋|sin5°－cos5°|＝sin5°＋cos5°＋cos5°－sin5°＝2cos5°.变式1：三角函数的给角求值问题，给出的三角函数式子中有一个或多个非特殊角，解决这类问题的基本思路有：①化为特殊角的三角函数值，此法关键在于找出所给非特殊角与特殊角的关系；②化为正负相消的项，消去非特殊角求值；③化分子、分母，使之出现公约数进行约分进而求值；④若求值的式子涉及弦、切、割，则大多考虑“切割化弦”；⑤若求值的式子涉及高次，则需用倍角公式或其他变形公式将其统一次数；⑥若三角函数值前面的系数不为1，还需考虑使用辅助角公式．求值：.思维点拨：分子是切函数，分母是弦函数很显然要将切函数化成弦函数．分母有二次项．显然要对该项降幂．解：原式＝＝·＝＝－4.【例2】给值求值问题是给出某个角(或两个角)的三角函数(式)的值，要求其他角的三角函数值．解决此类问题的关键是利用角的变换，把待求角用已知角表示出来，利用两角和、差或倍角公式把待求角的三角函数值求出，如果条件所给的式子比较复杂，则需先将其化简，在三角函数求值过程中，同角三角函数关系式和两角和与差的三角函数公式是求值问题的常用工具．已知求的值．思维点拨：(1)把已知条件转化成关于tanα的一元二次方程求tanα；(2)利用倍角公式的逆用把分式化成关于sinα、cosα的齐次式，再化为tanα即可求出．【例3】解：由tanα＋得3tan2α＋10tanα＋3＝0，即tanα＝－3或tanα＝又<α<π，所以tanα＝若本例条件不变，求的值．解： ∴3tan2α＋10tanα＋3＝0.拓展3：【例4】求证：＝sin2α.证明：证法一：左边＝∴原式成立．＝证法二：左边＝＝sinαcosα＝sin2α＝右边．∴原式成立．【方法规律】1．化简与求值就是对给定的三角函数式，通过适当的三角恒等变形，使之取较简形式或求出值来．三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式和代数上的恒等变形法则，因此，对以下三角公式在实现这种转化过程中的应用应有足够的了解：(1)同角三角函数关系——可实现函数名称的转化．(2)诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可实现角的形式的转化．(3)倍角公式及其变形公式——可实现三角函数式的升幂或降幂的转化，同时也可以完成角的形式的转化．2．三角函数式的求值问题大致可分为三类，即“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”，具体求解时，要仔细分析所给函数式的结构特征及角与角之间的关系，在恒等变形中，注意变角优先，要留心三角函数式中的角的特点，有无互余、互补角，角之...
