3.1基本不等式VIP免费

3.1基本不等式第三章§3基本不等式学习目标1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一算术平均数与几何平均数答案思考如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，|AQ|＝a，|BQ|＝b，过点Q作PQ垂直于AB交圆O于点P，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？答案|PO|＝|AB|2＝a＋b2.易证Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么|PQ|2＝|AQ|·|QB|，即|PQ|＝ab.梳理如果a，b都是非负数，那么a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立.我们称上述不等式为不等式，又称为不等式.其中a＋b2称为a，b的平均数，ab称为a，b的平均数.两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本均值算术几何知识点二基本不等式及其常见推论ab≤a＋b2(a≥0，b≥0).当a，b赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab≤a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥2(a，b同号)；(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).[思考辨析判断正误]1.对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立.()2.1＋22≥2.()3.若a>0，b>0，则ab≤a＋b2恒成立.()×√×题型探究例1证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R).类型一常见推论的证明证明证明 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.证明引申探究证明不等式a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R).证明由例1，得a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，两边同除以4，即得a＋b22≤a2＋b22，当且仅当a＝b时，取等号.反思与感悟作差法与不等式性质是证明中常用的方法.证明跟踪训练1已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.证明 a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.类型二用基本不等式证明不等式例2已知x，y都是正数.证明证明 x，y都是正数，∴xy>0，yx>0，求证：(1)yx＋xy≥2；∴yx＋xy≥2yx·xy＝2，即yx＋xy≥2，当且仅当x＝y时，等号成立.(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.证明证明 x，y都是正数，∴x＋y≥2xy>0，x2＋y2≥2x2y2>0，x3＋y3≥2x3y3>0.∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2xy·2x2y2·2x3y3＝8x3y3，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号成立.反思与感悟利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.(2)注意事项①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.跟踪训练2已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.证明证明 a，b，c都是正实数，∴a＋b≥2ab>0，b＋c≥2bc>0，c＋a≥2ca>0.∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2ab·2bc·2ca＝8abc.即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.类型三用基本不等式比较大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则A.x＝a＋b2B.x≤a＋b2C.x＞a＋b2D.x≥a＋b2答案解析√反思与感悟基本不等式a＋b2≥ab一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和.跟踪训练3设a＞b＞1，P＝lga·lgb，Q＝lga＋lgb2，R＝lga＋b2，则P，Q，R的大小关系是A.R0，∴lga＋b2＞lgab＝12(lga＋lgb)，即R＞Q.②综合①②，有Pa＋b，A.a>a＋b2>ab>bB.b>ab>a＋b2>aC.b>a＋b2>ab>aD.b>a>a＋b2>ab∴b>a＋b2>ab. b>a>0，∴ab>a2，∴ab>a.√故b>a＋b2>ab>a>ab.12345答案解析12345解析答案2.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子...