第69讲不等式的证明双向固基础点面讲考向多元提能力教师备用题返回目录返回目录返回目录返回目录1．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能利用它们证明一些简单不等式．2．能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决最大(小)值问题．3．理解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．考试说明第69讲不等式的证明返回目录返回目录双向固基础一、比较法1．作差比较法：欲证a>b，即证________．2．作商比较法：若a，b∈R＋，欲证a>b，即证________．二、综合法和分析法1．从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种方法叫做________，又叫顺推证法或由果导因法．2．证明命题时常常从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做________．————知识梳理知识梳理————a－b>0综合法充分分析法第69讲不等式的证明返回目录返回目录双向固基础三、反证法与放缩法1．先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)________的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种证明方法叫做________．2．证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_________________，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法叫做放缩法．四、柯西不等式与排序不等式1．二维形式的柯西不等式若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当________时，等号成立．矛盾ad＝bc反证法放大或缩小第69讲不等式的证明返回目录返回目录双向固基础2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k使________时，等号成立．3．二维形式的三角不等式.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当且仅当P1、P2与原点在同一直线上，并且P1、P2在原点两旁时，等号成立．4．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则α＝kβ第69讲不等式的证明返回目录返回目录双向固基础在一个实数k，使得________________________时，等号成立．5．排序不等式(或称排序原理)五、数学归纳法设{pn}是一个与自然数有关的命题，如果：(1)证明当________时命题成立；(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明________时命题也成立，那么可以断定{pn}对一切自然数成立．ai＝kbi(i＝1,2，…，n)n＝n0n＝k＋1————疑难辨析疑难辨析————返回目录返回目录双向固基础第69讲不等式的证明1．比较法证明不等式通常是两种：作差比较法和作商比较法．()[答案]√[解析]作差比较法，是将作差的结果与0比较，得出原来两数(式)的大小；作商比较法(两数或两式必须同号)，是将比值的结果与1比较得出原来两数(式)的大小．返回目录返回目录双向固基础第69讲不等式的证明2．反证法即是证明原命题的逆否命题成立．()[答案]√[解析]根据反证法的概念可得．返回目录返回目录双向固基础第69讲不等式的证明3．放缩法证明不等式实质上是利用不等式的传递性证明不等式．()[答案]√[解析]根据放缩法证明不等式的概念可得．返回目录返回目录双向固基础第69讲不等式的证明4．当a≥0，b≥0且a≠b时，有aa＋bb>ab＋ba.()[答案]√[解析]因为aa＋bb－(ab＋ba)＝a(a－b)－b(a－b)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)>0，所以aa＋bb>ab＋ba.返回目录返回目录双向固基础第69讲不等式的证明5．已知a2＋b2＝4，则|acosθ＋bsinθ|的最大值是2.()[答案]√[解析]因为(acosθ＋bsinθ)2≤(a2＋b2)(cos2θ＋sin2θ)＝4，所以|acosθ＋bsinθ|≤2.返回目录返回目录双向固基础第69讲不等式的证明6．用数学归纳法证明不等式时，第二步的归纳假设是基础，在证明过程中必须要用上归纳假设，如果不用归纳假设而得出结论，则不是数学归纳法．()[答案]√[解析]根据数学归纳法的概念可得．返回目录返回目录点面讲...
