【优化课堂】2012高中数学-第三章-3.4-3.4.1-基本不等式(一)课件-新人教A版必修5VIP专享VIP免费

3.4.1基本不等式(一)1．通过实例探究抽象基本不等式，体会数学来源于生活．2．推导并掌握基本不等式，并从不同的角度探索不等式3．理解基本不等式的几何意义．3.4基本不等式：ab≤a＋b2ab≤a＋b2的证明过程．1．算术平均数及几何平均数．设a，b是任意的两个正数，称________为a，b的算术平均数；称________为a，b的几何平均数．练习1：1和9的算术平均数是________，而1和9的几何平均数是________．53a＋b2ab2．重要不等式．2aba＝b一般地，对于任意实数a，b，我们有a2＋b2≥________，当且仅当________时，等号成立．3．基本不等式．设a，b是任意的两个正数，那么，当且仅当____________时，等号成立．基本不等式可叙述为：两个正数的___________________________________．ab≤a＋b2a＝b算术平均数不小于它们的几何平均数如果把a＋b2看作是正数a，b的等差中项，看作是正数a，b的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的______________________________________．)＋b2，b中最大的是(A．bB．a2＋b2C．2abD.12ab等差中项不小于它们的等比中项练习2：设b＞a＞0，且a＋b＝1，则此四个数12，2ab，a2A答案：不一定，当a，b都为正数时，不等式才成立．2．对于任意实数a，b，这两个数的算术平均数一定存在吗？那几何平均数呢？1．对于任意实数a，b，都要ab≤a＋b2成立吗？数为a＋b2.几何平均数不一定．答案：任意两个数a，b的算术平均数一定存在，算术平均题型1基本不等式正用a＋b≥2ab例1：(1)函数f(x)＝x＋1x(x>0)值域为________；函数f(x)＝x＋1x(x∈R)值域为________；(2)函数f(x)＝x2＋1x2＋1的值域为________．当且仅当x＝0时等号成立．答案：(1)[2，＋∞)(－∞，－2][2∪，＋∞)(2)[1，＋∞)解析：(1) x>0，x＋1x≥2x·1x＝2，∴f(x)(x>0)值域为[2，＋∞)；当x∈R时，f(x)值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；(2)x2＋1x2＋1＝(x2＋1)＋1x2＋1－1≥2x2＋1·1x2＋1－1＝1，【变式与拓展】1．若x>0，求f(x)＝12x＋3x的最小值．解： x>0，根据基本不等式有f(x)＝12x＋3x≥212x·3x＝236＝12，当且仅当12x＝3x，即当x＝2时，取“＝”号．∴f(x)＝12x＋3x的最小值为12.2．已知x>3，求4x－3＋x的最小值．解： x>3，∴x－3>0.∴4x－3＋x＝4x－3＋x－3＋3≥24x－3·x－3＋3＝7，当且仅当4x－3＝x－3，即当x＝5时，取等号．题型2基本不等式反用ab≤a＋b2例2：(1)函数f(x)＝x(1－x)(00.x(1－2x)＝12×2x(1－2x)≤12·2x＋1－2x22＝18，∴f(x)值域为0，18.解析：(1) 00,x(1－x)≤x＋1－x22＝14，∴f(x)值域为0，14.答案：(1)0，14(2)0，18【变式与拓展】3．函数y＝x1－x2的最大值为________．12解析：x1－x2＝x21－x2≤x2＋1－x22＝12.题型3利用基本不等式证明简单的不等式例3：已知正数a，b满足a＋b＝1，求证：(1)ab≤14；(2)a2＋b2≥12；(3)1a＋1b≥4；(4)1＋1a1＋1b≥9.思维突破：本题在考查均值定理等号何时成立的同时，也考查到形如“f(x)＝x＋1x”函数的单调性．自主解答：(1) ab≤a＋b2＝12，∴ab≤14.(2) a2＋b22≥a＋b2＝12，∴a2＋b2≥12.(3)方法一：1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b≥2ab·21ab＝4.方法二：1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2ba·ab＝4.方法三：1a＋1b≥21a·1b≥24＝4 ab≤14.(4)1＋1a1＋1b＝1ab＋1a＋1b＋1≥9.【变式与拓展】4．函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则1m＋1n的最小值为________．解析：图象恒过定点A(1,1)，有m＋n＝1，1m＋1n＝m＋nm＋m＋nn＝1＋nm＋mn＋1≥4.4a＋b≥u恒成立的u的取值范围是()A．(0,16]C．(0,10]B．(0,12]D．(0,8]5．设a，b，u都是正数，且a，b满足1a＋9b＝1，则使得A例4：求函数y＝x＋2＋1x＋2的最小值．试解：设t＝x＋2，则y＝t＋1t[t∈[2，＋...