第三节圆的方程1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于____的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是______和_______．2．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中___________为圆心，r为半径．特别地，当圆心在原点时，圆的方程为____________．定长圆心半径(a，b)x2＋y2＝r23．圆的一般方程对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.(1)当__________________时，表示圆心为(－，－)，半(2)当_______________时，(3)当_______________时，它不表示任何图形．D2＋E2－4F＞0径为12D2＋E2－4F的圆；D2＋E2－4F＝0表示一个点(－D2，－E2)；D2＋E2－4F＜04．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系(1)若M(x0，y0)在圆外，则_______________________．(2)若M(x0，y0)在圆上，则_______________________．(3)若M(x0，y0)在圆内，则_______________________．(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2＜r21．确定圆的方程必须有几个独立条件？【提示】不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a、b、r(或D、E、F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是什么？【提示】充要条件是D2＋E2－4F＞0.1．(人教A版教材习题改编)圆的方程为x2＋y2＋2by－2b2＝0，则圆的圆心和半径分别为()A．(0，b)，3bB．(0，b)，3|b|C．(0，－b)，3bD．(0，－b)，3|b|【解析】圆的标准方程为x2＋(y＋b)2＝3b2，从而圆的圆心坐标为(0，－b)，半径为3|b|.【答案】D2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()A．a＜－2或a＞23B．－23＜a＜0C．－2＜a＜0D．－2＜a＜23【解析】由题意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，解得－2＜a＜23.【答案】D3．(2012·辽宁高考)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0【解析】因为圆心是(1，2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.【答案】C4．已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．【解析】设圆心坐标为(a，0)，易知（a－5）2＋（－1）2＝（a－1）2＋（－3）2，解得a＝2.∴圆心为(2，0)，半径为10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.【答案】(x－2)2＋y2＝10已知圆心在直线y＝－4x，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，求圆的方程．【思路点拨】(1)设圆的标准方程，待定系数法求解；(2)利用圆的几何性质求圆心和半径．【尝试解答】法一设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，则有b＝－4a，（3－a）2＋（－2－b）2＝r2，|a＋b－1|2＝r，解得a＝1，b＝－4，r＝22.∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r＝22，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.1．用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解．2．几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．若一三角形三边所在的直线分别为x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，则能覆盖此三角形且面积最小的圆的方程是________．【解析】结合题意，解得三角形的三个顶点分别是(1，2)，(2，2)，(3，1)，作出图形可知三角形是以(1，2)，(3，1)两顶点的连线为最长边的钝角三角形．所以圆的直径为d＝5，圆心坐标为(2，32)，则圆的方程为(x－2)2＋(y－32)2＝54.【答案】(x－2)2＋(y－32)2＝54【思路点拨】根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解．已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．【尝试解答】(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆，yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率．所以设yx＝k，即y＝...
