2.基本不等式VIP免费

基本不等式（一）湖南省东安县第一中学罗荣林数学史三国时期吴国赵爽，绘制此图最早对勾股定理进行了证明引入ADBCEFGHba22ab222ababABCDE(FGH)ab222abab：即222abab：即思考：你能给出对任意实数a,b，不等式都成立的证明吗？222abab≥abba2220)(2ba0)(2ba2()0≥ab所以222.≥abab所以ab当时ab当时证明：（作差法）2)(ba证明重要不等式一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222abab重要不等式：探究基本不等式①拿两张大小不同的正方形纸片，分别沿对角线对折，得到两个等腰直角三角形纸片。②若正方形纸片的面积分别是a,b,两个三角形纸片的面积则是，腰分别是22,ab③怎样改造这两个三角形纸片可以构成一个矩形，并且使该矩形的长和宽分别为？,ab④对比这两个三角形的面积之和与矩形的面积，你有什么发现？？？,ab折纸游戏①②③2abab2a2b≥ab特别地，若a>0，b>0，则_____2abab≥当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；2abab定义基本不等式文字语言：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数从不同角度认识基本不等式问题1：基本不等式从数列的角度，还可以怎么表述？0,02≥ababab两个正数的等差中项不小于它们的等比中项从不同角度认识基本不等式ABCEabOD=,,,,ABabACaBCbABOCABDEADBD，，问题2：如图，取线段其中以为直径作过点作垂直于的弦连接,,abab试找出图中哪条线段表示的算术平均值？哪条线段表示的几何平均值？它们分别有什么几何意义？ODDC半径不小于半弦长几何意义：2abODDCab2abab≥证明：要证只要证≥2abab①要证②，只要证20≥abab②要证③，只要证2()0≥ab③显然,④是成立的.当且仅当a=b时,④中的等号成立.分析法思考：你还能给出基本不等式的其他证明吗？(0,0)2ababab执果索因证明基本不等式④问题3：你能否借助已证的重要不等式，分析基本不等式的成立性呢？222abab002,ababab2222222440022,abababababababababababab又方法1：即2222200222,,,,ababababababababababab：：：方法2：且用分别代替有即即证明基本不等式解：如图设BC=x，CD=y，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.2xyxy≥210020,xy≥2()40xy≥当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.此时x=y=10.x=yABDC例：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？运用基本不等式求最值因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2ABDC运用基本不等式求最值例：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？2361818922819max,BCxCDyxyxyxyxyxyxyS=81解：设则即得当且仅当时，等号成立此时知识方法小结数学建模数形结合运用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等布置作业课堂作业：教材第100页习题A组第1,2题课后作业：课后在网上查找基本不等式的其他代数几何证明方法，整理并相互交流。思考：由基本不等式出发，你还能推导出哪些公式？课后思考题(0,0)2ababab谢谢大家,敬请指导!